# 1 Introduction
## 1.1 Background
南部地区食品银行（FBST）的移动食品储藏室（MFP）项目，是纽约州六县经济困难群体获取营养食品的重要保障，2019年已实现70个常规站点、722次年度服务的成熟规模。肺炎疫情对全球食品体系的冲击暴露了供应链与服务体系的脆弱性，尽管不同地区抗冲击能力存在差异，但 FBST 的 MFP 项目仍因疫情导致服务范围大幅收缩、服务模式被迫调整。随着疫情防控形势趋稳，FBST计划2021年恢复疫情前服务水平，取消提前登记要求。如何基于2019年历史数据，制定兼顾需求匹配、公平性与实操性的站点访问调度方案，同时适配天气因素影响与志愿者工作优化需求，成为保障食品援助高效落地、切实满足群众需求的关键问题。

1
The Mobile Food Pantry (MFP) program, operated by the Food Bank of the Southern Tier (FBST), serves as a critical lifeline for food-insecure populations across six counties in New York State. By 2019, the program had achieved significant operational maturity, maintaining a network of 70 regular sites and conducting 722 annual distributions. However, the global shock of the COVID-19 pandemic exposed profound vulnerabilities within food supply chains and service delivery frameworks. While regional resilience varied, the pandemic forced the FBST to significantly contract its service coverage and overhaul its operational models.

As the public health situation stabilizes, FBST aims to restore its service capacity to pre-pandemic levels in 2021, including the removal of pre-registration requirements. The central challenge now lies in leveraging 2019 historical data to design a robust site-visit scheduling scheme. This scheme must achieve a delicate balance between demand alignment, social equity, and operational feasibility, while simultaneously accounting for the stochastic nature of weather conditions and the optimization of volunteer resources. Addressing these complexities is essential for ensuring the efficient delivery of food assistance and effectively meeting the heightened needs of the community.

## 1.2 Restatement of the problem

考虑到问题陈述中明确的背景信息与限制条件，我们需要解决以下问题：

1. 依据70个常规站点周边社区总需求，制定有效且公平的2021年访问时间表，平均服务所有客户并避免服务差异过大；
2. 基于寒冷冬日客户到访量低、天气好转后附近站点需求激增的历史数据，从 “减少服务站点总数并优化位置”“保持站点数量和位置不变调整访问时间” 中择一，修改原有调度方法，并量化性能改进；
3. 针对同一卡车单次行程能访问两个不同站点的新选项，设计算法选择站点、确定日期及首个站点食物分发量，描述分配的有效性和公平性；
4. 撰写1页执行摘要，阐述所提建议的主要优势和潜在缺点。
Based on the context provided and the requirements for the MCM/ICM competition, here is the professional translation of the "Problem Restatement" section:

### 1.2 Problem Restatement



1.2 Problem Restatement
Considering the background information and constraints specified in the problem statement, we are tasked with addressing the following four objectives:

Develop an effective and fair 2021 visitation schedule based on the total community demand surrounding the 70 regular sites, ensuring that all clients are served on average and significant service disparities are minimized.

Modify the existing scheduling approach by selecting one of two strategies： 'reducing serviced sites while optimizing locations' or 'maintaining current sites while adjusting visitation timing', based on historical weather-driven demand fluctuations

Design an algorithm for the one-truck-two-sites operational model, determining site pairings, scheduling dates, and initial site food distribution volume, and evaluate the effectiveness and equity of the distribution

Compose a one-page executive summary that articulates the primary advantages and potential limitations of the proposed recommendations for the Food Bank's leadership.


## 1.3 Literature review
## 1.4 Our work

# 4.基于概率修正与公平性度量的时空调度优化模型
## 4.1 Model Overview
为了统筹考虑站点需求的不确定性与物流资源的有限性，本文构建了基于概率修正与公平性度量的时空调度优化模型 (Probability-Corrected Proportional Allocation and Spatio-Temporal Scheduling Model, PPA-STS)。该模型由三个相互衔接的逻辑层组成：

需求精炼层 (Demand Refinement Layer)：针对原始需求的波动性，利用正态分布与截断概率对均值需求进行线性修正，识别并对冲超承载风险。
策略分配层 (Strategic Allocation Layer)：引入哈密尔顿法（最大余数法），将连续的需求比例科学地转化为离散的访问频次配额，确保分配过程的公平性与完整性。
时空调度层 (Spatio-Temporal Optimization Layer)：以访问间隔的均匀性为目标函数，构建约束编程（CP）模型，在满足车辆运力与服务周期约束的前提下，实现 365 天访问计划的精确排布。


## 4.2 Model Building

### 4.2.1 随机性需求修正机制

题目仅提供 2019 年各站点的平均需求及方差，而实际需求存在波动，如部分站点可能出现需求峰值超过卡车最大服务量的情况，仅用平均需求会导致访问次数分配偏差。因此，本环节需通过概率建模修正需求，得到更贴合实际的真实需求。

step1.假设需求概率分布

基于统计规律，假设每个站点的需求服从正态分布，即：
$$
d_{i}\sim N(\tilde{\mu_{i}},\sigma_{i}^{2} )
$$

其中，di​为第i个站点的需求；$\mu_{i}$​为第i个站点的平均需求；$\sigma_{i}^{2} $​为第i个站点的需求方差。

step2.计算截断概率

定义截断概率为：真实需求超过最大容量$d_{max}$的概率，用于判断需求是否存在超承载风险
$$
p_{i}^{trunc}=p(\tilde{d_{i}}>d_{max})=p(Z>\frac{d_{max}-\tilde{\mu_{i}}}{\sigma_{i}})=1-\Phi(\frac{d_{max}-\tilde{\mu_{i}}}{\sigma_{i}})
$$
其中$p_{i}^{trunc}$为截断概率，阈值设定为0.2

step3.需求线性修正
对截断概率超过阈值的站点，通过线性修正公式调整需求，避免因需求峰值导致服务不足：
$$
\tilde{d_{i}}=d_{i}\cdot(1+\alpha p_{i}^{trunc})
$$
其中$\alpha$为经验系数

step4：输出修正结果
最终筛选出截断概率超过 0.2 的站点，完成需求修正，后续所有计算均以修正后需求为依据。

### 4.2.2 基于哈密尔顿法的访问频次分配

在总访问次数固定的前提下，对于访问次数的分配应该按照需求进行比例原则分配以更更好满足高需求站点。本文采用哈密尔顿法进行分配，分配目标为最大化服务总量且保证公平。其具体步骤如下：

1.计算基础配额
$$
k^{i}_{base}=\frac{70\tilde{d_{i}}}{\sum_{i}\tilde d_{i}}
$$
2.拆分整数和余数
$$
k^{i}_{1}=[k_{base}^{i}]
$$
$$
r_{i}=k^{i}_{base}-k^{i}_{1}
$$
3.对余数进行降序排列，将剩余配额按照顺序分配，得到最终的分配次数公式为
$$
k_{i}=\left\{\begin{matrix}
  [k_{base}^{i}]+1\\
  [k_{base}^{i}]
\end{matrix}\right.
$$


### 4.2.3 多维评估指标体系
对分配后的访问次数方案进行量化评估，验证是否满足有效与公平的目标，为方案优化提供依据。

###  有效性 

有效性的核心定义是对所有客户的平均服务水平，本质是判断方案能否最大化覆盖真实需求，同时贴合实际运营约束。本模块设计原始总服务量与 加权总服务量 双指标，既反映服务规模，又修正约束偏差，确保评估结果真实可靠。

1.原始总服务量
$$
E_{1}=\sum_{i}k_{i}\cdot\tilde{d_{i}}
$$
2.加权总服务量
$$
E_{2}=\sum_{i}q(\tilde{d_{i}})\cdot k_{i}\cdot\tilde{d_{i}}
$$
其中
$q(\tilde{d_{i}})=\min(1,\frac{250}{\tilde{d_{i}}})$
### 公平性

公平性的核心定义是避免部分客户得到远优于他人的服务，本质是判断各站点的需求满足程度是否均衡。本模块通过满意度 与满意度基尼系数的组合，实现从 “单个站点满足度” 到 “整体均衡性” 的分层评估。

1.满意度
$$
SL_{i}=\frac{k_{i}\cdot C_{0}}{\tilde{d_{i}}}
$$
2.基尼系数
$$
G=\frac{\sum_{i}\sum_{j}\left | SL_{i}-SL_{j} \right |}{2\cdot70^{2}\cdot\bar{SL}}
$$

基尼系数G的取值范围为[0,1]，越接近 0 表示站点间服务效能越均衡。

### 4.2.4 时空调度组合优化模型

经分析，本模型实质为单目标组合优化问题。模型核心目标是使各站点的年度访问需求在 365 天内尽可能均匀分布，提升服务连续性与客户体验。具体构建过程如下：

- 决策变量

    1.第$i$个站点第$m$次运输的时间$s_{i, m}$，

    2.第$i$个站点第$t$天是否被访问
    $$
    a_{i,t}=\left\{\begin{matrix}
    1&t\in S_{i}\\
    0&t\notin S_{i} 
    \end{matrix}\right.
    $$

- 目标函数
以所有站点实际访问间隔与理想访问间隔的绝对偏差总和最小为目标，量化访问时间分布的均匀性，目标函数如下：
     $$\min Z = \sum_{i=1}^{70} \sum_{m=1}^{k_i - 1} \left| (s_{i, m+1} - s_{i, m}) - T_{i} \right|$$

- 约束条件
为保证模型解的可行性与合理性，结合项目运营实际设定以下约束：

    1.每日的访问总次数不得超过最大运输次数
    $$
    \sum_{i}a_{i,t}\le2
    $$
    2.所有站点必须达到规定访问次数
    $$
    \sum_{t}a_{i,t}=k_{i}
    $$
    3.相邻两次访问不得小于默认间隔
    $$
    s_{i, m+1} - s_{i, m}\ge t_{0}
    $$
结合实际运营数据验证，当卡车运载食物全部分配给200户家庭时，每户可获得75磅食物，足以支撑14天的需求，因此设定同一站点相邻两次访问的最小间隔 $t_0=14$ 天。



## 4.3 Model Solution

本模型属于大规模组合优化问题。传统的混合整数线性规划 (MILP) 在处理 70 个站点的一年期排班时容易陷入维度灾难。因此，本文采用 Google OR-Tools 中的 CP-SAT 求解器进行求解。
该算法基于懒惰子句学习机制，具有以下优势：

- 高效剪枝：能快速排除不满足 14 天最小间隔及每日运输力约束的无效解空间。
- 冲突驱动搜索：在全局优化目标间隔均匀性与硬约束运力限制之间快速寻找平衡。
- 解质量保障：相比启发式算法，CP-SAT 能在更短时间内给出更接近全局最优的精确解。

## 4.4 Results of Task 1

# 5.基于时空共生机理的双站点协同调度优化模型
## 5.1 Model Overview

在模型 I 的基础上，为了进一步提升配送效率并挖掘运输潜能，本章打破一车一站的限制，提出共生站点（Symbiotic Sites）策略。共生站点是指满足空间、需求、稳定性三个维度要求，能由同一配送车辆单次班次顺序服务的两个站点组合。

该模型的核心逻辑分为三个阶段：

- 共生站点筛选阶段：基于地理可达性、需求加总限制及时间稳定性指标，筛选可由同一班次顺序服务的站点对。
- 内部配额优化阶段：针对共生站点对，通过构建效用函数，确定两站间的最优货物分配比例，以平衡服务有效性与公平性。
- 全局动态调度阶段：将共生站点视作单一复合决策单元，整合进改进的调度算法中，生成最优配送时间表。

## 5.2 Model Building


### 5.2.1 共生站点筛选准则 

为保障共生站点策略的实际操作性与科学性，本文构建三维量化筛选体系，从空间、需求、稳定性三个维度严格界定共生站点对的准入条件。

1.空间邻近性

由数据集可知各站点经纬度，为筛选小范围地域内的站点，采用修正曼哈顿距离$l_{ij}​$量化两站点 i,j 的地理关联度，该公式适配经纬度坐标的球面投影特性，计算公式如下：
$$
l_{ij}=69.0\cdot \left | lat_{i}-lat_{j} \right | +69.0\cdot \cos(\frac{lon_{i}+lon_{j}}{2})\left | lon_{i}-lon_{j} \right |
$$
其中，系数 69.0 为经纬度差值转换为地面距离的英里常数.

2.需求叠加适度性

设站点 i,j 的服务需求为 {d_i}​,{d_j}​，配送卡车最大载荷为$Q_{max}​=250$ 户。为保留调度优化余量，设定联合需求上限450​，共生站点对需满足：
$$
d_{ij}=d_{i}+d_{j}\le 450
$$


3.需求稳定性
对于接近卡车最大限制的配对组合，本文进一步考虑其需求稳定性，删去波动大的配对以防止后续共生站点的分配不均。其判别公式为
$$
 \frac{\sigma_{i}}{d_{i}},\frac{\sigma_{j}}{d_{j}}\ge0.5
 $$


### 5.2.2 共生内部资源分配模型

对于通过筛选的共生站点对 {i,j}，需优化两站间的货物分配策略，定义虚拟分配量 qi​ 为站点 i 的预分配货物数量，基于模型一构建综合效用评分函数以求解最优配额:

1、第一站点的实际分配货物
$$
g_{i}=\min(d_{i},q_{i})
$$

2、第二站点的实际分配货物
$$
g_{j}=\min(d_{j},d_{0}-g_{i})
$$

3、效用最大化目标函数

- 目标1：最大化期望服务总量
$$
\max E(g_{i}+g_{j})
$$
- 目标2：站点间的分配公平性 
$$
\min \max(0,\tilde{d_{i}}-q_{i})+\max(0,\tilde{d_{j}}-(\tilde{d_{i}}-q_{i}))=\min U_{i}+U_{j}
$$
为平衡服务有效性与分配公平性，将上述双目标融合为统一的分配有效得分函数：
$$
score_{ij}^{A}=E(g_{i}+g_{j})-\lambda E(U_{i}+U_{j})-\mu E(\max(U_{i},U_{j}))
$$

选取分配有效得分最大的$q_{i}$作为第一站点的分配货物数量。


### 5.2.3 适配共生站点的全局调度模型

对于访问次数的求解，与模型一一致，仅需适配站点总数减少、共生站点需求合并的场景，本文不再赘述.

对于访问时间分配的求解，本文基于模型一重构全局调度模型的决策变量、目标函数与约束条件，实现独立站点与共生站点的协同调度。

决策变量
$$
\begin{itemize}
    \item $a_{i,t} \in \{0,1\}$：独立站点 $i$ 在第 $t$ 天是否被访问，$1$ 表示访问，$0$ 表示未访问；
    \item $a_{x,t} \in \{0,1\}$：共生站点 $x$ 在第 $t$ 天是否被访问；
    \item $s_{i,m}$：独立站点 $i$ 第 $m$ 次访问的日期；
    \item $s_{x,y}$：共生站点 $x$ 第 $y$ 次访问的日期。
\end{itemize}
$$
- 第$i$个单独站点第$m$次运输的时间$s_{i, m}$
- 第$x$个共生站点第$y$次运输时间$s_{x,y}$
- 第$i$个单独站点第$t$天是否被访问
$$
a_{i,t}=\left\{\begin{matrix}
  1&t\in S_{i}\\
  0&t\notin S_{i} 
\end{matrix}\right.
$$
- 第$x$个共生站点第$t$天是否被访问
$$
a_{x,t}=\left\{\begin{matrix}
  1&t\in S_{x}\\
  0&t\notin S_{x} 
\end{matrix}\right.
$$
目标函数：

为了表示各站点访问时间的均匀分布，本文定义目标函数为所有站点实际时间间隔与理想时间间隔的差值的绝对值之和
$$ 
\min Z = \sum_{i} \sum_{m=1}^{k_{i}} \left| (s_{i, m+1} - s_{i, m}) - T_{i} \right|+  \sum_{x} \sum_{y=1}^{k_{x}} \left| (s_{i, y+1} - s_{i, y}) - T_{i} \right|
$$
约束条件

1.每日的访问总次数不得超过最大运输能力
$$
\sum_{i}a_{i,t}+\sum_{x}a_{x,t}\le2
$$
2.所有站点必须达到规定访问次数
$$
\sum_{t}a_{i,t}=k_{i},\sum_{t}a_{x,t}=k_{x}
$$
3.相邻两次访问不得小于默认间隔
$$
s_{i, m+1} - s_{i, m}\ge t_{0},s_{x, m+1} - s_{x, m}\ge t_{0}
$$

### 5.2.4 共生站点下的指标评估体系
### 有效性
1.期望总服务量
$$
E_{1}^{'}=\sum_{i}k_{i}\cdot \tilde{d_{i}}+\sum_{x}k_{x}\cdot \tilde{d_{x}}
$$
2.加权总服务量
$$
E_{2}^{'}=\sum_{i}q(\tilde{d_{i}})\cdot k_{i}\cdot\tilde{d_{i}}+\sum_{x}q(\tilde{d_{x}})\cdot k_{x}\cdot\tilde{d_{x}}
$$
### 公平性
1.满意度
$$
SL_{i}=\frac{ C_{0}}{\tilde{d_{i}}}
$$
$$
SL_{x}=\frac{ C_{0}}{\tilde{d_{x}}}
$$
2.基尼系数
$$
G^{'}=\frac{\sum_{i}\sum_{j}\left | SL_{i}-SL_{j} \right |+\sum_{x}\sum_{z}\left | SL_{x}-SL_{z} \right |}{2\cdot70^{2}\cdot\bar{SL}}
$$
3.服务缺口风险
$$
P_{x}=P(\frac{g_{i}}{d_{i}}<0.8)+P(\frac{g_{j}}{d_{j}}<0.8)-P(\frac{g_{i}}{d_{i}},\frac{g_{j}}{d_{j}}<0.8)
$$

## 5.4 Model Solution
### 5.4.1 共生站点筛选求解
通过上述量化筛选公式，本文利用贪心思想，以站点配对得分为评估指标，具体公式如下：
$$
score_{ij}^{P}=\frac{\tilde{d_{i}}+\tilde{d_{j}}}{d_{0}}-\beta\frac{l_{ij}}{l_{0}}-\gamma\frac{\sigma^{2}_{i}+\sigma^{2}_{i}}{(\tilde{d_{i}}+\tilde{d_{i}})^{2}}
$$
选取得分高的候选站点组合优先配对，且各站点只能配对一次，最终得到共生站点如下表：

### 5.4.2 共生内部资源分配求解
最终我们得出各共生站点的分配方案如下表

<!-- 本模型采用分步启发式求解策略，分三阶段实现模型的高效求解：

- 预处理阶段：共生站点候选集生成基于三维筛选准则，构建站点间曼哈顿距离矩阵与需求特征矩阵，通过聚类扫描算法筛选满足条件的共生站点对，生成共生映射表。

- 局部优化阶段：内部配额求解针对共生映射表中的每一对站点，采用蒙特卡洛模拟方法生成多组需求场景，代入效用最大化目标函数，通过迭代寻优求解最优预分配量 qi​。

- 调度求解阶段：全局时间分配调用模型 I 的自适应搜索算法，将共生站点作为特殊节点（需求量为 gi​+gj​）嵌入算法框架，通过迭代收敛得到全局最优配送时间表。 -->

## 5.5 Results of task 3


| 符号 | 含义与说明 | 学术性英文术语 |
| :--- | :--- | :--- |
| **基础参数** | | |
| $i$ | 70个常规服务站点的索引 ($i=1, 2, \dots, 70$) [1] | Site Index |
| $n_i$ | 站点 $i$ 在2019年的历史访问次数 [1] | Historical Visit Frequency |
| $d_i$ | 站点 $i$ 的历史单次平均需求量（服务客户数） [1] | Average Demand per Visit |
| $D_i$ | 站点 $i$ 的年度总需求量 ($D_i = n_i \times d_i$) | Annual Aggregate Demand |
| $d_0$ | 单辆卡车单次最大服务能力（250户家庭） | Maximum Vehicle Capacity |
| $N_{total}$ | 2021年全年的总计划访问次数（365天×2次/天=730次） [1] | Total Annual Service Capacity |
| $t_0$ | 同一站点两次访问间的最小安全间隔（14天，基于食物支撑周期） | Minimum Revisit Interval |
| $\alpha, \beta$ | 供应不足与资源浪费的惩罚权重系数 | Penalty Weighting Coefficients |
| **决策变量** | | |
| $k_{base}$ | 每个站点每年至少获得的保障性底线访问次数 | Baseline Service Guarantee / Minimum Frequency |
| $k_{i_e}$ | 分配给站点 $i$ 的最终年度访问频次 | Allocated Annual Visit Frequency |
| $s_{i, m}$ | 站点 $i$ 第 $m$ 次被访问的具体日期（天数） | Scheduled Service Date |
| $a_{i, t}$ | 0-1 决策变量：站点 $i$ 在第 $t$ 天是否被访问 | Binary Assignment Variable |
| **性能与公平指标** | | |
| $N_{free}$ | 扣除基础保障后的剩余可支配访问额度 | Residual Allocation Capacity |
| $annual\_eff_i$ | 站点 $i$ 的年度有效食品供应总量 | Total Annual Effective Supply |
| $unmet_i$ | 站点 $i$ 的需求未满足率（缺货惩罚项） | Unmet Demand Rate (Shortage Penalty) |
| $waste_i$ | 站点 $i$ 的资源浪费率（过剩惩罚项） | Resource Wastage Rate (Surplus Penalty) |
| $score_i$ | 衡量站点服务质量的综合有效性评分 | Effectiveness Utility Score |
| $G$ | 衡量不同站点间服务效能均衡程度的基尼系数 | Gini Coefficient (Equity Metric) |
| $T_i$ | 站点 $i$ 的理想均匀访问间隔周期 ($365 / k_{i_e}$) | Ideal Recurrence Interval |




