# Task 3: 双站点同车访问的随机优化方案

## 摘要

本文针对"同一辆卡车在单次行程中访问两个站点"的调度优化问题，提出一套**基于随机优化的完整解决方案**。核心创新点：

1. **问题本质识别**：将第一站点分配决策建模为**两阶段随机优化问题**，正确处理"第二站点需求不确定"的核心难点
2. **共生站点配对模型**：综合考虑距离、容量、波动性三维约束，构建配对价值函数
3. **解析最优分配策略**：推导出闭式解 $q^* = \frac{\sigma_j \mu_i + \sigma_i (Q - \mu_j)}{\sigma_i + \sigma_j}$
4. **风险可控的全局调度**：在提升效率的同时，将服务缺口风险控制在可接受范围

**实际运行结果**：
- 总服务量提升 **16.9%**（140,121 → 163,777）
- 质量加权服务量提升 **5.3%**（131,673 → 138,699）
- 资源节省 **19.5%**（142次双站点访问）
- 服务缺口风险 **17.1%**（可控范围）

---

## 完整流程图

### Mermaid版本（GitHub可渲染）

```mermaid
flowchart TB
    subgraph INPUT["数据输入"]
        A[Task 1 结果<br/>70站点 + 730次分配<br/>task1/03_allocate.xlsx]
    end

    subgraph TASK3["TASK 3: 双站点同车优化"]
        direction TB

        subgraph CORE["核心流程 ✅ 已完成"]
            subgraph PAIRING["阶段1: 配对选择"]
                B1[01_distance.py<br/>距离矩阵计算]
                B2[02_pairing.py<br/>可行性筛选+贪心选择]
                B1 --> B2
            end

            subgraph ALLOCATION["阶段2: 分配优化"]
                C1[03_allocation.py<br/>最优分配q*计算]
            end

            subgraph SCHEDULING["阶段3: 全局调度"]
                D1[04_reschedule.py<br/>访问次数重分配]
                D2[05_calendar.py<br/>日历排程生成]
                D1 --> D2
            end

            subgraph EVALUATION["阶段4: 效果评估"]
                E1[06_evaluate.py<br/>E1',E2',F1',F2',R1,RS]
            end

            B2 --> C1 --> D1
            D2 --> E1
        end

        subgraph VALIDATE["结果验证 ✅ 已完成"]
            V1[约束满足检验<br/>每日2事件、总730次]
            V2[与Task 1对比<br/>指标改进验证]
            V3[分配合理性<br/>q*边界检查]
        end

        subgraph SENSITIVITY["敏感性分析 ✅ 已完成"]
            S1[07_sensitivity.py<br/>4参数扫描]
            S2[合并比例: 0.10-0.90]
            S3[距离阈值: 10-100mi]
            S4[容量上限: 350-550]
            S5[CV阈值: 0.10-1.00]
            S1 --> S2
            S1 --> S3
            S1 --> S4
            S1 --> S5
        end

        subgraph VISUAL["可视化 ✅ 已完成"]
            P1[Fig.1 站点配对地图 ✅]
            P2[Fig.2 分配策略散点图 ✅]
            P3[Fig.3 敏感性曲线 ✅]
            P4[Fig.4 日历热力图 ✅]
            P5[Fig.5 风险分布图 ✅]
        end

        CORE --> VALIDATE
        CORE --> SENSITIVITY
        VALIDATE --> VISUAL
        SENSITIVITY --> VISUAL
    end

    subgraph OUTPUT["输出文件"]
        F1[01_distance.xlsx<br/>距离矩阵]
        F2[02_pairing.xlsx<br/>34对配对]
        F3[03_allocation.xlsx<br/>最优分配]
        F4[04_reschedule.xlsx<br/>访问次数]
        F5[05_calendar.xlsx<br/>365天排程]
        F6[06_evaluate.xlsx<br/>效果对比]
        F7[07_sensitivity.xlsx<br/>敏感性结果]
    end

    A --> B1
    E1 --> F1
    E1 --> F2
    E1 --> F3
    E1 --> F4
    E1 --> F5
    E1 --> F6
    S1 --> F7

    style CORE fill:#90EE90
    style VALIDATE fill:#90EE90
    style SENSITIVITY fill:#90EE90
    style VISUAL fill:#FFE4B5
```

### ASCII版本（详细）

```
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                              TASK 3 完整流程                                                 │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│                                                                                             │
│  ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐   │
│  │                        核心流程 [已完成 ✓]                                            │   │
│  │                                                                                       │   │
│  │  task1/03_allocate.xlsx                                                              │   │
│  │          │                                                                            │   │
│  │          ▼                                                                            │   │
│  │  ┌──────────────────┐     ┌──────────────────┐     ┌──────────────────┐             │   │
│  │  │ 01_distance.py   │ ──▶ │ 02_pairing.py    │ ──▶ │ 03_allocation.py │             │   │
│  │  │ 距离矩阵70×70    │     │ 34对配对选择     │     │ 最优分配q*       │             │   │
│  │  └──────────────────┘     └──────────────────┘     └────────┬─────────┘             │   │
│  │                                                              │                        │   │
│  │                                                              ▼                        │   │
│  │  ┌──────────────────┐     ┌──────────────────┐     ┌──────────────────┐             │   │
│  │  │ 06_evaluate.py   │ ◀── │ 05_calendar.py   │ ◀── │ 04_reschedule.py │             │   │
│  │  │ 效果评估对比     │     │ 365天日历排程    │     │ 访问次数重分配   │             │   │
│  │  └──────────────────┘     └──────────────────┘     └──────────────────┘             │   │
│  └─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘   │
│                          │                                                                  │
│            ┌─────────────┼─────────────┬───────────────────────────┐                       │
│            │             │             │                           │                       │
│            ▼             ▼             ▼                           ▼                       │
│  ┌──────────────────┐  ┌──────────────────┐  ┌──────────────────┐  ┌──────────────────┐   │
│  │ 结果验证 [✓]     │  │ 敏感性分析 [✓]  │  │ 可视化 [✓]      │  │ 输出文件         │   │
│  │                  │  │                  │  │                  │  │                  │   │
│  │ ✓ 每日2事件     │  │ 07_sensitivity   │  │ ✓ 配对地图      │  │ 01_distance.xlsx │   │
│  │ ✓ 总730次访问   │  │ ┌──────────────┐ │  │ ✓ 分配散点图    │  │ 02_pairing.xlsx  │   │
│  │ ✓ q*边界检查    │  │ │合并比例      │ │  │ ✓ 敏感性曲线    │  │ 03_allocation.xlsx│  │
│  │ ✓ Task 1对比    │  │ │ 0.10-0.90    │ │  │ ✓ 日历热力图    │  │ 04_reschedule.xlsx│  │
│  │                  │  │ ├──────────────┤ │  │ ✓ 风险分布图    │  │ 05_calendar.xlsx │   │
│  │ 结论:           │  │ │距离阈值      │ │  │                  │  │ 06_evaluate.xlsx │   │
│  │ E1↑16.9%        │  │ │ 10-100 mi    │ │  │ 图表清单:       │  │ 07_sensitivity.xlsx│  │
│  │ E2↑5.3%         │  │ ├──────────────┤ │  │ Fig.1-5 ✅      │  │                  │   │
│  │ RS=19.5%        │  │ │容量上限      │ │  │                  │  │                  │   │
│  │ R1=17.1%        │  │ │ 350-550      │ │  │                  │  │                  │   │
│  │                  │  │ ├──────────────┤ │  │                  │  │                  │   │
│  │                  │  │ │CV阈值       │ │  │                  │  │                  │   │
│  │                  │  │ │ 0.10-1.00   │ │  │                  │  │                  │   │
│  │                  │  │ └──────────────┘ │  │                  │  │                  │   │
│  └──────────────────┘  └──────────────────┘  └──────────────────┘  └──────────────────┘   │
│                                                                                             │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
```

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## 1. 问题本质与底层逻辑

### 1.1 题目核心要求

题目原文关键句：
> "decide on the amount of food to dispense at the first site **(since without pre-registration the demand at the next site is not known for sure)**"

**为什么这是核心难点？**

传统的单站点访问：需求已知（或可估计），分配是确定性问题。

双站点访问的困境：
```
卡车出发时 ──▶ 到达站点i ──▶ 服务完成 ──▶ 前往站点j ──▶ 服务站点j
     │              │              │              │
     │         需求D_i实现        │         需求D_j实现
     │              │              │              │
     └── 决策点：预留多少给i？     └── 剩余Q-S_i给j
```

**问题本质**：这是一个**两阶段随机优化问题（Two-Stage Stochastic Optimization）**
- **第一阶段决策**：在出发前决定 $q$（给站点i预留多少）
- **第二阶段决策**：观测到 $D_i$ 后，$S_i = \min(D_i, q)$，剩余 $Q - S_i$ 给站点j

### 1.2 为什么采用双站点模式？

**底层逻辑**：资源效率优化

| 单站点模式 | 双站点模式 |
|-----------|-----------|
| 每天2次独立访问 | 每天可能1次双站点+1次单站点 |
| 730次/年 | 释放部分槽位 |
| 灵活但资源密集 | 效率更高但有风险 |

**核心权衡**：
- **收益**：释放访问槽位 → 可服务更多需求
- **成本**：需求不确定性 → 可能导致某站点服务不足

---

## 2. 符号定义与参数估计

### 2.1 符号体系

| 符号 | 定义 | 来源/估计 |
|------|------|----------|
| $\mu_i, \sigma_i$ | 站点 $i$ 的需求均值和标准差 | 2019年历史数据 |
| $\tilde{\mu}_i$ | 截断修正后的真实需求 | Task 1截断回归 |
| $D_i$ | 站点 $i$ 的随机需求 | $D_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$ |
| $Q$ | 卡车单次总服务能力 | 400户 |
| $q$ | 第一站点预分配量 | **决策变量** |
| $l_{ij}$ | 站点间距离 | Haversine公式计算 |
| $k_i$ | 站点 $i$ 的年度访问次数 | Task 1 Hamilton分配 |

### 2.2 关键参数推导

**为什么 $Q = 400$？**

题面信息：
- 卡车运力 = 15,000 lbs
- 典型服务 = 200-250户

推导：
$$\text{每户食物量} = \frac{15000}{225} \approx 67 \text{ lbs}$$

但数据显示 $\mu_{max} = 396.6$，说明实际每户分配可能更少：
$$\text{实际每户} \approx \frac{15000}{400} = 37.5 \text{ lbs}$$

取 $Q = 400$ 作为容量上限，与数据一致。

---

## 3. 共生站点配对模型

### 3.1 配对约束的底层逻辑

**约束1：同日可达性**

**为什么需要距离约束？**

单日时间预算分析：
```
工作日时间 = 8小时
单站点服务 = 2小时 × 2 = 4小时
转场+准备 = 0.5 + 行驶时间
可用行驶时间 = 8 - 4 - 0.5 = 3.5小时
```

假设平均车速30 mph（含路况）：
$$l_{max} = 3.5 \times 30 = 105 \text{ miles}$$

**为什么取50英里而非105英里？**
- 保守设计：留有余量应对交通延误
- 敏感性分析显示：50英里已覆盖足够多的配对

**距离计算公式**（Haversine简化）：
$$l_{ij} = 69.0 \times \sqrt{(\Delta lat)^2 + \cos^2(lat_{avg})(\Delta lon)^2}$$

- 69.0 = 1度纬度对应的英里数
- $\cos^2(lat_{avg})$ = 经度修正因子（高纬度地区经度圈变小）

**约束2：容量可行性**

**为什么 $\mu_i + \mu_j \leq 450$？**

- 卡车容量 $Q = 400$
- 允许10%溢出（$\delta = 50$）：因为需求是随机的，平均值之和略超容量时，实际服务可能仍在容量内

$$\mu_i + \mu_j \leq Q + \delta = 450$$

**约束3：需求稳定性**

**为什么限制CV（变异系数）？**

变异系数 $CV = \sigma / \mu$ 衡量需求的相对波动性。

高CV站点的问题：
- 需求高度不确定
- 分配策略难以优化
- 服务缺口风险高

经验阈值：$CV_{max} = 0.5$（即标准差不超过均值的一半）

### 3.2 配对价值函数的设计逻辑

**为什么需要价值函数？**

满足约束的配对可能有上千个（实际1568对），需要选择最优的子集。

**价值函数设计**：

$$V_{ij} = \underbrace{\alpha \cdot \frac{\mu_i + \mu_j}{Q}}_{\text{容量利用率}} - \underbrace{\beta \cdot \frac{l_{ij}}{l_{max}}}_{\text{距离惩罚}} - \underbrace{\gamma \cdot \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{(\mu_i + \mu_j)^2}}_{\text{风险惩罚}}$$

**各项解释**：

| 项 | 逻辑 | 权重 |
|----|------|------|
| 容量利用率 | 需求和接近Q的配对更有价值 | $\alpha = 1.0$ |
| 距离惩罚 | 距离远的配对效率低 | $\beta = 0.3$ |
| 风险惩罚 | 波动大的配对风险高 | $\gamma = 0.5$ |

**为什么用贪心算法而非整数规划？**

- 贪心算法：O(n²)，实现简单，结果接近最优
- 整数规划：精确但复杂度高，收益有限
- 约束"每站点最多配对一次"使贪心算法非常有效

### 3.3 实际运行结果

**配对筛选**：
- 候选配对数：1568对（满足3个约束）
- 最终选择：**34对**（覆盖68个站点，97%）
- 未配对站点：2个

**Top 10 高价值配对**：

| 配对 | 站点i | 站点j | 距离 | 需求和 | 价值 |
|------|-------|-------|------|--------|------|
| 1 | Boys and Girls Club | Redeemer Lutheran | 0.4 mi | 441 | 1.07 |
| 2 | Rathbone | Woodhull | 5.8 mi | 445 | 1.06 |
| 3 | Bath | Campbell | 9.6 mi | 448 | 1.05 |
| 4 | Springview Apts | Waverly | 0.8 mi | 424 | 1.05 |
| 5 | Birnie Transport | Lindley | 10.1 mi | 446 | 1.04 |

---

## 4. 第一站点分配的随机优化模型

### 4.1 问题形式化

**为什么建模为随机优化？**

确定性思维的错误：
> "给站点i分配 $\mu_i$，给站点j分配 $Q - \mu_i$"

问题：实际需求 $D_i$ 可能大于或小于 $\mu_i$：
- 若 $D_i > \mu_i$：站点i服务不足
- 若 $D_i < \mu_i$：多余食物浪费在站点i，站点j也可能不足

**正确的建模**：

决策变量：$q$ = 为站点i预留的食物量

服务量：
$$S_i = \min(D_i, q), \quad S_j = \min(D_j, Q - S_i)$$

目标：最大化期望总服务量
$$\max_q \quad E[S_i + S_j]$$

### 4.2 解析解的推导过程

**引理：截断正态期望**

对于 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$：
$$E[\min(X, c)] = \mu \cdot \Phi(z) - \sigma \cdot \phi(z) + c \cdot (1 - \Phi(z))$$

其中 $z = \frac{c - \mu}{\sigma}$。

**推导**：

$$E[\min(X, c)] = \int_{-\infty}^{c} x \cdot f(x) dx + c \cdot P(X > c)$$

第一项通过分部积分，第二项直接计算，得到上述公式。

**最优条件推导**：

简化假设：$D_i, D_j$ 独立，忽略 $S_i$ 的随机性对 $E[S_j]$ 的影响。

$$E[S_i] \approx g(q; \mu_i, \sigma_i)$$
$$E[S_j] \approx g(Q - q; \mu_j, \sigma_j)$$

对 $q$ 求导并令其为零：
$$\frac{\partial E[S_i]}{\partial q} = \frac{\partial E[S_j]}{\partial (-q)}$$

利用截断正态的导数性质：
$$\frac{\partial E[\min(X, c)]}{\partial c} = 1 - \Phi\left(\frac{c - \mu}{\sigma}\right)$$

得到：
$$1 - \Phi\left(\frac{q - \mu_i}{\sigma_i}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{Q - q - \mu_j}{\sigma_j}\right)$$

$$\Phi\left(\frac{q - \mu_i}{\sigma_i}\right) = \Phi\left(\frac{Q - q - \mu_j}{\sigma_j}\right)$$

由 $\Phi$ 的单调性：
$$\frac{q - \mu_i}{\sigma_i} = \frac{Q - q - \mu_j}{\sigma_j}$$

解得：
$$\boxed{q^* = \frac{\sigma_j \mu_i + \sigma_i (Q - \mu_j)}{\sigma_i + \sigma_j}}$$

### 4.3 最优分配公式的物理解释

改写公式：
$$q^* = \frac{\sigma_j}{\sigma_i + \sigma_j} \cdot \mu_i + \frac{\sigma_i}{\sigma_i + \sigma_j} \cdot (Q - \mu_j)$$

**解释**：
- 当 $\sigma_j \gg \sigma_i$：$q^* \to \mu_i$（为站点i精确分配，因为j波动大需要更多缓冲）
- 当 $\sigma_i \gg \sigma_j$：$q^* \to Q - \mu_j$（为站点j预留更多，因为i波动大）
- 当 $\sigma_i = \sigma_j$：$q^* = \frac{\mu_i + Q - \mu_j}{2}$（平均分配）

**核心洞察**：波动大的站点需要更多"缓冲"空间。

### 4.4 鲁棒性约束

**为什么需要约束？**

极端情况下，$q^*$ 可能导致某站点获得很少的预留：
- 若 $q^* < \mu_i - \sigma_i$：站点i很可能服务不足
- 若 $Q - q^* < \mu_j - \sigma_j$：站点j很可能服务不足

**约束设计**：
$$\mu_i - k\sigma_i \leq q \leq Q - \mu_j + k\sigma_j$$

取 $k = 1$（约84%保护水平）。

**实际效果**：34对配对中，无一触及边界约束——说明最优解本身已经是鲁棒的。

### 4.5 实际分配结果

| 统计量 | 值 |
|--------|-----|
| $q^*$ 范围 | [23.9, 315.6] |
| 分配比例范围 | [6.0%, 78.9%] |
| 平均分配比例 | 50.6% |
| 平均效率 | 94.2% |

**Top 5 配对的分配方案**：

| 配对 | $\mu_i$ | $\mu_j$ | $\sigma_i$ | $\sigma_j$ | $q^*$ | 比例 |
|------|---------|---------|------------|------------|-------|------|
| Boys & Girls + Redeemer | 210.8 | 230.6 | 28.9 | 93.5 | 195.9 | 49.0% |
| Rathbone + Woodhull | 269.1 | 176.0 | 38.2 | 35.9 | 248.1 | 62.0% |
| Bath + Campbell | 279.5 | 168.5 | 67.9 | 33.9 | 254.3 | 63.6% |
| Springview + Waverly | 27.6 | 396.6 | 5.6 | 51.9 | 23.9 | 6.0% |
| Birnie + Lindley | 213.4 | 232.9 | 27.8 | 56.9 | 189.4 | 47.3% |

---

## 5. 全局调度优化

### 5.1 合并比例的设计逻辑

**为什么不全部合并？**

风险考虑：
- 双站点访问有服务缺口风险
- 保留部分单独访问作为"保险"

**合并比例公式**：
$$k_{ij} = \lfloor \min(k_i, k_j) / 2 \rfloor$$

**示例**：站点i有10次访问，站点j有6次
- 双站点访问次数：$\lfloor \min(10, 6) / 2 \rfloor = 3$
- 站点i剩余单独访问：$10 - 3 = 7$
- 站点j剩余单独访问：$6 - 3 = 3$

### 5.2 释放槽位的重分配

**为什么双站点访问算1次事件？**

题目说"sending the same truck to visit two sites on **some of the trips**"——双站点是一次"行程"。

**重分配逻辑**：
1. 计算释放的槽位：$\Delta N = \sum k_{ij} = 142$
2. 按需求比例分配给所有站点
3. 使用Hamilton方法取整

### 5.3 实际运行结果

| 指标 | 值 |
|------|-----|
| 配对数 | 34 |
| 双站点访问次数 | 142 |
| 释放槽位 | 142 |
| 最终单站点访问 | 588 |
| 最终总事件 | 730（符合约束）|

---

## 6. 效果评估

### 6.1 指标定义与逻辑

**E1'：期望总服务量**

$$E_1' = \sum_{\text{单站点}} k_i \cdot \mu_i + \sum_{\text{双站点}} k_{ij} \cdot E[S_i + S_j]$$

**E2'：质量加权服务量**

**为什么需要质量加权？**

当服务户数超过250时，每户分得的食物减少：
$$q(\mu) = \min\left(1, \frac{250}{\mu}\right)$$

**双站点的质量计算（总量法）**：
$$q_{ij} = \min\left(1, \frac{250}{\mu_i + \mu_j}\right)$$

**为什么用总量而非分站点计算？**
- 双站点共享同一卡车的食物
- 总负载决定每户分得的量
- 更符合物理实际

**满足率 $r_i$**（与Task 1定义一致）：
$$r_i = \frac{k_i \cdot \mu_i}{\tilde{\mu}_i}$$

对于参与配对的站点：
$$r_i = \frac{k_i^{single} \cdot \mu_i + k_{ij} \cdot E[S_i]}{\tilde{\mu}_i}$$

**R1：服务缺口风险**

$$R_1 = P(S_i / D_i < 0.8 \text{ 或 } S_j / D_j < 0.8)$$

### 6.2 实际结果对比

| 指标 | Task 1 | Task 3 | 变化 | 变化% |
|------|--------|--------|------|-------|
| **E1 (总服务量)** | 140,121 | 163,777 | +23,656 | **+16.9%** |
| **E2 (质量加权)** | 131,673 | 138,699 | +7,026 | **+5.3%** |
| F1 (Gini系数) | 0.314 | 0.320 | +0.006 | +1.9% |
| F2 (最低满足率) | 2.0 | 2.0 | 0 | 0% |
| **R1 (缺口风险)** | 0 | 0.171 | +0.171 | 新增 |
| **RS (资源节省)** | 0% | 19.5% | +19.5% | 新增 |

**核心发现**：
1. 通过双站点模式，释放19.5%的访问槽位
2. 总服务量提升16.9%
3. 公平性几乎不变（Gini仅增加1.9%）
4. 代价是引入17.1%的服务缺口风险

---

## 7. 敏感性分析

### 7.1 分析参数

| 参数 | 符号 | 基准值 | 扫描范围 |
|------|------|--------|---------|
| 合并比例 | $r_{merge}$ | 1/2 | 0.10–0.90（步长0.01，共81点） |
| 距离阈值 | $l_{max}$ | 50 mi | 10–100（步长1，共91点） |
| 容量上限 | $\mu_{sum,max}$ | 450 | 350–550（步长5，共41点） |
| CV阈值 | $CV_{max}$ | 0.5 | 0.10–1.00（步长0.01，共91点） |

### 7.2 敏感性结果（高分辨率）

![Fig.3 敏感性曲线（E1/E2 与 R1）](figures/fig3_sensitivity.png)

> 说明：每次扫描仅改变一个参数，其余保持基准值；完整结果见 `07_sensitivity.xlsx`（共304个扫描点）。

**总体汇总（范围为扫描区间的最小值～最大值）**

| 参数 | E1范围 | E2范围 | R1范围 |
|------|--------|--------|--------|
| $r_{merge}$ | 143,904 ~ 181,014（-12.13% ~ +10.52%） | 132,849 ~ 143,124（-4.22% ~ +3.19%） | 0.1708 ~ 0.1708 |
| $l_{max}$ | 158,665 ~ 163,777（-3.12% ~ +0.00%） | 137,369 ~ 138,699（-0.96% ~ +0.00%） | 0.1447 ~ 0.1796 |
| $\mu_{sum,max}$ | 160,924 ~ 164,140（-1.74% ~ +0.22%） | 135,781 ~ 143,672（-2.10% ~ +3.59%） | 0.0262 ~ 0.2090 |
| $CV_{max}$ | 141,666 ~ 163,951（-13.50% ~ +0.11%） | 132,823 ~ 138,873（-4.24% ~ +0.13%） | 0.0000 ~ 0.1810 |

**1. 合并比例 $r_{merge}$ — 影响 E1/E2 的主导参数**

- 单调性：$r_{merge}$ 越大，双站点次数越多（18 → 255），E1/E2 基本近似线性上升（相关系数≈0.999）。
- 风险：R1 几乎不变（本模型中 R1 衡量“配对本身”的缺口概率，与双站点次数规模无关）。
- 取值建议：若以“提升服务量”为主，$r_{merge}$ 越大越好；若考虑运营复杂度与稳健性，基准 $r_{merge}=0.5$ 是折中点。

**2. 距离阈值 $l_{max}$ — 主要影响“可配对数量”，之后快速进入平台期**

- 当 $l_{max}$ 从 10 增加到约 22 时，可配对数从 27 增至 34；之后继续放宽距离对 E1/E2 的增益几乎为 0（平台期）。
- 风险：在小 $l_{max}$ 下 R1 更低（例如 $l_{max}=10$ 时 R1≈0.1447），放宽距离后 R1 波动不大但略有上升空间。
- 取值建议：$l_{max}$ 取 45–55 可兼顾“覆盖足够配对 + 计算与运营可控”，50 mi 作为基准合理。

**3. 容量上限 $\mu_{sum,max}$ — 风险与质量(E2) 的关键控制阀**

- E1：整体变化很小（±2% 内），说明“总服务量”对该参数相对稳健。
- E2：$\mu_{sum,max}$ 越小，E2 越高（350 时 E2 最大≈143,672），原因是质量折扣 $q(\\mu_{sum})=\\min(1,250/\\mu_{sum})$ 对高 $\mu_{sum}$ 组合惩罚更重。
- 风险：$\mu_{sum,max}$ 放宽会显著推高 R1（0.0262 → 0.2090），属于最敏感的风险参数。
- 取值建议：若以“控风险+提升E2”为主，优先考虑 350–400；若更强调“资源节省/双站点次数规模”，可保持基准 450，但需接受更高的缺口风险水平。

**4. CV 阈值 $CV_{max}$ — 准入门槛参数（过严会显著损失 E1/E2）**

- 阈值过严（如 0.10）会导致仅剩极少配对（最少 2 对），从而 E1/E2 明显下降；当 $CV_{max}\\ge 0.44$ 时可恢复到 34 对配对规模并进入平台期。
- 曲线形态：E1/E2 在 0.50–0.60 附近达到峰值（本数据在 0.56 处最高），之后提升有限。
- 取值建议：$CV_{max}$ 取 0.50–0.60 较稳健，基准 0.50 与最优点非常接近。

### 7.3 敏感性结论与汇总

| 参数 | E1影响范围 | E2影响范围 | R1影响范围 | 结论 |
|------|-----------|-----------|-----------|------|
| **merge_ratio** | **22.66%** | 7.41% | 0.00% | ⚠️ E1/E2 主导参数 |
| **l_max** | 3.12% | 0.96% | 3.49% | ✅ 快速平台化，较稳健 |
| **mu_sum_max** | 1.96% | **5.69%** | **18.27%** | ⚠️ 风险与E2关键控制参数 |
| **cv_max** | 13.61% | 4.36% | 18.10% | ⚠️ 过严会导致配对崩塌 |

**建议**：
1. **合并比例**决定双站点次数规模，是提升E1/E2的主要旋钮（但也带来更高运营复杂度）
2. **距离阈值**很快进入平台期（约22 mi后配对数基本饱和），基准 50 mi 合理
3. **容量上限**与 **CV阈值**共同决定“允许哪些站点进入配对池”，会显著影响风险与E2，应作为风险治理参数重点管理

---

## 8. 结果验证

### 8.1 约束满足检验

| 检验项 | 要求 | 实际 | 结果 |
|--------|------|------|------|
| 每日访问事件数 | 2 | min=2, max=2 | ✅ 通过 |
| 年度总事件数 | 730 | 730 | ✅ 通过 |
| 站点覆盖 | 全覆盖 | 70/70 | ✅ 通过 |
| $q^*$边界检查 | 在[q_lower, q_upper]内 | 34/34在边界内 | ✅ 通过 |

### 8.2 模型有效性验证

**与Task 1对比**：
- E1提升16.9%：释放的槽位被有效利用
- F1几乎不变：公平性未受损
- R1可控：17.1%的缺口风险在合理范围

**物理合理性**：
- 高价值配对的需求和接近容量（平均413）
- 最优分配比例接近50%（平均50.6%）
- 低需求配对的双站点次数较少（合理）

---

## 9. 可视化图表（Fig.1-5 已完成）

### 9.1 图表清单

| 图编号 | 图名 | 内容 | 目的 |
|--------|------|------|------|
| Fig.1 ✅ | 站点配对地图 | 70站点+34条配对连线 | 展示空间分布 |
| Fig.2 ✅ | 分配策略散点图 | q* vs (μ_i, σ_i, σ_j) | 验证分配逻辑 |
| Fig.3 ✅ | 敏感性曲线 | 4参数对E1,E2,R1的影响 | 参数选择依据 |
| Fig.4 ✅ | 日历热力图 | 365天×2槽位 | 排程可视化 |
| Fig.5 ✅ | 风险分布图 | 34对的缺口概率分布 | 风险识别 |

> Fig.1/2/4/5 已由 `08_visualize.py` 生成；Fig.3 已由 `07_sensitivity.py` 生成。

### 9.2 可视化脚本（已实现）

```
task3/
├── fig1_carto.html          # 交互地图（CartoDB 底图）
├── fig1_points.js           # ✅ 自动生成（08_visualize.py）
├── 08_visualize.py      # 可视化脚本
└── figures/
    ├── fig1_pairing_map.png
    ├── fig2_allocation_scatter.png
    ├── fig3_sensitivity.png          # ✅ 已生成（07_sensitivity.py）
    ├── fig4_calendar_heatmap.png
    └── fig5_risk_distribution.png
```

### 9.3 可视化结果

![Fig.1 站点配对地图](figures/fig1_pairing_map.png)

交互版：用浏览器打开 `task3/fig1_carto.html`（同目录需有 `task3/fig1_points.js`；需联网加载 CartoDB 底图）。

![Fig.2 分配策略散点图](figures/fig2_allocation_scatter.png)

![Fig.4 日历热力图](figures/fig4_calendar_heatmap.png)

![Fig.5 风险分布图](figures/fig5_risk_distribution.png)

---

## 10. 结论与政策建议

### 10.1 主要发现

1. **配对收益**：双站点模式可节省19.5%的访问槽位，服务量提升16.9%
2. **分配策略**：最优分配量 $q^*$ 与两站点需求波动性成反比——波动大的站点需要更多"缓冲"
3. **风险可控**：通过合理的配对选择和鲁棒性约束，服务缺口风险控制在17%以内
4. **参数敏感性分工明确**：合并比例主导 E1/E2；容量上限与CV阈值主导风险与E2；距离阈值快速进入平台期

### 10.2 对FBST的建议

| 建议 | 理由 |
|------|------|
| 采用双站点模式 | 可释放19.5%资源服务更多需求 |
| 优先配对低需求、地理相近站点 | 容量利用率高，风险低 |
| 保留高需求站点的单独访问 | 避免服务不足 |
| 记录双站点访问的实际服务量 | 校准模型参数 |
| 合并比例取1/2 | 平衡效率与运营复杂度 |

### 10.3 模型局限性

1. **需求独立性假设**：实际中相邻站点需求可能相关
2. **服务时间固定**：大需求站点可能需要更长服务时间
3. **天气因素未纳入**：可与Task 2结合考虑
4. **简化的不确定性传播**：忽略了 $S_i$ 对 $S_j$ 的随机影响

---

## 附录A：关键公式速查

| 公式 | 用途 | 来源 |
|------|------|------|
| $q^* = \frac{\sigma_j \mu_i + \sigma_i (Q - \mu_j)}{\sigma_i + \sigma_j}$ | 最优第一站点分配 | 4.2节推导 |
| $V_{ij} = \alpha \frac{\mu_i + \mu_j}{Q} - \beta \frac{l_{ij}}{l_{max}} - \gamma \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{(\mu_i + \mu_j)^2}$ | 配对价值函数 | 3.2节设计 |
| $E[\min(X, c)] = \mu \Phi(z) - \sigma \phi(z) + c(1-\Phi(z))$ | 截断正态期望 | 统计引理 |
| $q(\mu) = \min(1, 250/\mu)$ | 质量折扣因子 | Task 1定义 |
| $k_{ij} = \lfloor \min(k_i, k_j) / 2 \rfloor$ | 合并次数 | 5.1节设计 |

---

## 附录B：程序流水线

```
task3/
├── 01_distance.py      ✅ 距离矩阵计算
│   └── 01_distance.xlsx    (70×70矩阵)
├── 02_pairing.py       ✅ 配对筛选与选择
│   └── 02_pairing.xlsx     (34对配对)
├── 03_allocation.py    ✅ 最优分配计算
│   └── 03_allocation.xlsx  (q*值)
├── 04_reschedule.py    ✅ 访问次数重分配
│   └── 04_reschedule.xlsx  (k'值)
├── 05_calendar.py      ✅ 日历排程生成
│   └── 05_calendar.xlsx    (365天)
├── 06_evaluate.py      ✅ 效果评估
│   └── 06_evaluate.xlsx    (指标对比)
├── 07_sensitivity.py   ✅ 敏感性分析
│   └── 07_sensitivity.xlsx (4参数)
├── 08_visualize.py     ✅ 可视化（Fig.1/2/4/5）
│   └── figures/            (5张图)
└── README.md           ✅ 本文档
```

---

## 附录C：运行命令

```bash
cd task3

# 完整流程
python 01_distance.py
python 02_pairing.py
python 03_allocation.py
python 04_reschedule.py
python 05_calendar.py
python 06_evaluate.py
python 07_sensitivity.py
python 08_visualize.py

# 一键运行（可选）
for i in 01 02 03 04 05 06 07; do python ${i}_*.py; done
python 08_visualize.py
```

---

## 附录D：参数设置汇总

| 参数 | 符号 | 基准值 | 敏感性 | 依据 |
|------|------|--------|--------|------|
| 卡车容量 | $Q$ | 400户 | - | 数据推断 |
| 距离阈值 | $l_{max}$ | 50 mi | 低 | 时间预算 |
| 容量上限 | $\mu_{sum,max}$ | 450 | 中（风险） | Q+10% |
| CV上限 | $CV_{max}$ | 0.5 | 低 | 经验值 |
| 合并比例 | $r_{merge}$ | 1/2 | **高** | 效率-风险平衡 |
| 鲁棒性水平 | $k$ | 1 | - | 84%保护 |
| 质量阈值 | $\bar{C}$ | 250 | - | Task 1定义 |
