# Task 1: 2021年MFP访问计划——需求驱动的频次分配与日历排程

## 摘要

本文提出一套**因果逻辑清晰、闭环可审计**的2021年MFP访问频次分配与日历排程方案。核心创新点：

1. **截断回归修正**：识别到9个站点历史服务量 $\mu_i > 250$（最高396.6），说明高需求站点的观测数据被容量截断，采用截断正态模型恢复真实需求 $\tilde{\mu}_i$
2. **质量加权有效性**：考虑高服务量下每户分配食物减少的质量折扣
3. **满足率公平性**：以"年度服务量/真实需求"的均等程度衡量公平，而非简单的访问次数均等

方案遵循四阶段结构：需求估计 → 频次分配 → 效果评估 → 日历排程。

---

## 整体流程图

```
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                                    数据输入层                                             │
│                                                                                         │
│    ┌─────────────┐                                                                      │
│    │  data.xlsx  │  70站点: 位置、2019访问次数、μ、σ                                      │
│    └──────┬──────┘                                                                      │
└───────────┼─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
            │
            ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                              TASK 1: 基础排程 [已完成 ✓]                                  │
│                                                                                         │
│    ┌──────────────┐     ┌──────────────┐     ┌──────────────┐     ┌──────────────┐     │
│    │ 01_clean.py  │────▶│02_demand_    │────▶│03_allocate.py│────▶│04_evaluate.py│     │
│    │              │     │correction.py │     │              │     │              │     │
│    │ 数据清洗     │     │ 截断回归修正  │     │ Hamilton分配 │     │ 指标计算     │     │
│    └──────────────┘     └──────────────┘     └──────────────┘     └──────┬───────┘     │
│           │                    │                    │                    │             │
│           ▼                    ▼                    ▼                    ▼             │
│    ┌──────────────┐     ┌──────────────┐     ┌──────────────┐     ┌──────────────┐     │
│    │01_clean.xlsx │     │02_demand.xlsx│     │03_allocate.  │     │04_metrics.   │     │
│    │              │     │ μ̃ (5站点修正)│     │xlsx (k分配)  │     │xlsx          │     │
│    └──────────────┘     └──────────────┘     └──────┬───────┘     └──────────────┘     │
│                                                     │                                   │
│                                                     ▼                                   │
│                                              ┌──────────────┐                           │
│                                              │05_schedule.py│                           │
│                                              │ 日历排程生成  │                           │
│                                              └──────┬───────┘                           │
│                                                     │                                   │
│                                                     ▼                                   │
│                                              ┌──────────────┐                           │
│                                              │05_schedule.  │                           │
│                                              │xlsx (365天)  │                           │
│                                              └──────┬───────┘                           │
└─────────────────────────────────────────────────────┼───────────────────────────────────┘
                                                      │
            ┌─────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────┐
            │                                                                           │
            ▼                                                                           ▼
┌───────────────────────────────────────────┐     ┌───────────────────────────────────────────┐
│     TASK 2: 天气响应调度 [待完成]           │     │     TASK 3: 双站点同车 [待完成]             │
│                                           │     │                                           │
│  选项 2a: 减少站点数 + 优化位置             │     │  ┌─────────────────────────────────────┐   │
│  ┌─────────────────────────────────────┐  │     │  │ 1. 共生站点筛选                      │   │
│  │ • 站点聚类 (K-means/层次聚类)        │  │     │  │    • 距离约束: dist(i,j) < D_max    │   │
│  │ • 确定最优站点数 K < 70             │  │     │  │    • 需求约束: μ_i + μ_j ≤ 400      │   │
│  │ • 客户愿意多走的距离建模            │  │     │  │    • 稳定性约束: CV_i, CV_j < 阈值   │   │
│  │ • 重新分配频次                      │  │     │  └─────────────────────────────────────┘   │
│  └─────────────────────────────────────┘  │     │                    │                       │
│           或                              │     │                    ▼                       │
│  选项 2b: 保持70站点 + 优化时间协调        │     │  ┌─────────────────────────────────────┐   │
│  ┌─────────────────────────────────────┐  │     │  │ 2. 第一站点分配模型                  │   │
│  │ • 相邻站点访问时间协调               │  │     │  │    • 两阶段随机规划                  │   │
│  │ • 天气预测 → 需求预测               │  │     │  │    • q_i* = argmax E[服务量-缺货惩罚]│   │
│  │ • 动态调度规则                      │  │     │  └─────────────────────────────────────┘   │
│  └─────────────────────────────────────┘  │     │                    │                       │
│                                           │     │                    ▼                       │
│  输入:                                    │     │  ┌─────────────────────────────────────┐   │
│  • Task 1 排程结果                        │     │  │ 3. 频次重分配                        │   │
│  • 历史天气数据 (如有)                    │     │  │    • 共生站点合并需求                │   │
│  • 站点间距离矩阵                        │     │  │    • Hamilton方法重新分配            │   │
│                                           │     │  └─────────────────────────────────────┘   │
│  输出:                                    │     │                    │                       │
│  • 改进后的排程方案                       │     │                    ▼                       │
│  • 性能提升量化                          │     │  ┌─────────────────────────────────────┐   │
│                                           │     │  │ 4. 日历排程 + 对比评估               │   │
└───────────────────────────────────────────┘     │  │    • 与 Task 1 对比 E1, E2, F1, F2  │   │
                                                  │  └─────────────────────────────────────┘   │
                                                  │                                           │
                                                  │  输入:                                    │
                                                  │  • Task 1 分配结果 (03_allocate.xlsx)    │
                                                  │  • 站点距离矩阵                          │
                                                  │                                           │
                                                  │  输出:                                    │
                                                  │  • 共生站点配对表                        │
                                                  │  • 第一站点分配方案                      │
                                                  │  • 新日历排程                            │
                                                  └───────────────────────────────────────────┘
                                                      │
                                                      ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│                              TASK 4: Executive Summary [待完成]                          │
│                                                                                         │
│    ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │
│    │  1页执行摘要:                                                                    │ │
│    │  • Task 1 方案优势: 总服务量提升 34.6%                                           │ │
│    │  • Task 2/3 改进效果量化                                                        │ │
│    │  • 对 FBST 的关键建议                                                           │ │
│    │  • 方法论局限性说明                                                             │ │
│    └─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘ │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
```

### 当前进度

| 任务 | 状态 | 说明 |
|------|------|------|
| Task 1 | ✅ 已完成 | 基础排程方案，5个脚本全部运行通过 |
| Task 2 | ⏳ 待开始 | 天气响应调度（选择2a或2b之一）|
| Task 3 | ⏳ 待开始 | 双站点同车分配优化 |
| Task 4 | ⏳ 待开始 | 1页执行摘要 |

### 下一步操作

```
1. [Task 2 或 Task 3] 根据题目要求选择完成其一
   │
   ├─▶ 若选 Task 2:
   │     • 计算站点间距离矩阵
   │     • 选择 2a(减站点) 或 2b(优化时间)
   │     • 实现并量化改进
   │
   └─▶ 若选 Task 3:
         • 筛选共生站点配对
         • 建立第一站点分配模型
         • 生成新排程并对比评估

2. [Task 4] 撰写1页执行摘要
   • 汇总 Task 1 + (Task 2 或 Task 3) 结果
   • 突出方法优势与建议
```

---

## 运行结果摘要

| 指标 | 推荐方案 | 均匀分配 | 2019缩放 | 变化 |
|------|---------|---------|---------|------|
| E1 (总服务量) | **140,121** | 104,797 | 104,071 | +34.6% |
| E2 (质量加权) | **131,673** | 101,309 | 100,264 | +31.3% |
| F1 (Gini系数) | 0.314 | **0.026** | 0.092 | 公平性降低 |
| F2 (最低满足率) | 2.0 | **8.4** | 5.0 | - |

**核心发现**：按需求比例分配可提升34.6%的总服务量，但存在有效性-公平性权衡。

---

## 1. 问题形式化

### 1.1 输入数据

对 $n=70$ 个站点，数据提供：

| 字段 | 符号 | 说明 |
|------|------|------|
| 位置 | $(lat_i, lon_i)$ | 经纬度坐标 |
| 2019年访问次数 | $v_i$ | 历史频次，总计722次 |
| 单次服务人数均值 | $\mu_i$ | 观测均值，范围[17.2, 396.6] |
| 单次服务人数标准差 | $\sigma_i$ | 观测波动，范围[2.2, 93.5] |

### 1.2 运营参数（题面提取）

| 参数 | 符号 | 值 | 来源 |
|------|------|-----|------|
| 卡车物理运力 | $W$ | 15,000 lbs | 题面明确 |
| 典型服务户数 | $[\underline{C}, \bar{C}]$ | [200, 250] | 题面"typical" |
| 每日可派车次 | - | 2 | 题面"2 trucks any given day" |
| 全年运营天数 | $T$ | 365 | 假设全年运营 |
| 年度总访问次数 | $N$ | 730 | $= 2 \times 365$ |

### 1.3 决策变量

- $k_i \in \mathbb{Z}^+$：站点 $i$ 的年度访问次数
- $\mathcal{S}_i = \{t_{i,1}, ..., t_{i,k_i}\}$：站点 $i$ 的具体访问日期

### 1.4 硬约束

$$\sum_{i=1}^{70} k_i = N = 730 \tag{C1: 资源约束}$$

$$k_i \geq 1, \quad \forall i \in [1,70] \tag{C2: 覆盖约束}$$

$$|\{i : t \in \mathcal{S}_i\}| = 2, \quad \forall t \in [1, 365] \tag{C3: 每日2站点}$$

---

## 2. 阶段一：真实需求估计（截断回归）

### 2.1 关键数据观察

分析70个站点的 $\mu_i$ 分布：

| 统计量 | 值 |
|--------|-----|
| $\mu > 250$ 的站点数 | 9 |
| $\mu_{max}$ | 396.6 (MFP Waverly) |
| $\mu$ 第二高 | 314.6 (MFP Avoca) |
| $\mu$ 第三高 | 285.3 (MFP Endwell) |
| $\mu$ 均值 | 141.4 |

**结论**：题面"200-250户"是"typical"而非硬上限。高需求站点通过减少每户分配量实现超额服务。

### 2.2 观测机制建模

**核心假设**：观测到的 $\mu_i$ 是真实需求 $\tilde{\mu}_i$ 在服务容量约束下的截断观测。

设单次服务的有效容量上限为 $C$（取 $C = 400$，略高于 $\mu_{max}$）。

$$\mu_i = E[\min(\tilde{D}_i, C)]$$

其中 $\tilde{D}_i \sim \mathcal{N}(\tilde{\mu}_i, \tilde{\sigma}_i^2)$ 是站点 $i$ 的真实单次需求。

### 2.3 截断修正公式

**Step 1**：计算截断概率代理

$$p_i^{trunc} = 1 - \Phi\left(\frac{C - \mu_i}{\sigma_i}\right)$$

**Step 2**：分段修正（阈值 $p^{trunc} \geq 0.02$）

$$\tilde{\mu}_i = \begin{cases}
\mu_i & \text{if } p_i^{trunc} < 0.02 \\[8pt]
\mu_i \cdot (1 + 0.4 \cdot p_i^{trunc}) & \text{if } p_i^{trunc} \geq 0.02
\end{cases}$$

### 2.4 实际修正结果

采用阈值 $p^{trunc} \geq 0.02$，共5个站点被修正：

| site_id | 站点名称 | $\mu$ | $\sigma$ | $p^{trunc}$ | $\tilde{\mu}$ | 修正幅度 |
|---------|---------|-------|----------|-------------|---------------|----------|
| 66 | MFP Waverly | 396.6 | 51.9 | 0.474 | 471.9 | +19.0% |
| 2 | MFP Avoca | 314.6 | 57.3 | 0.068 | 323.2 | +2.7% |
| 13 | MFP College TC3 | 261.5 | 92.0 | 0.066 | 268.4 | +2.6% |
| 17 | MFP Endwell United Methodist | 285.2 | 60.8 | 0.030 | 288.6 | +1.2% |
| 30 | MFP Redeemer Lutheran | 230.6 | 93.5 | 0.035 | 233.8 | +1.4% |

**修正前后对比**：
- 修正前 $\sum \mu_i$ = 9,899.9
- 修正后 $\sum \tilde{\mu}_i$ = 9,997.2
- 增幅：+0.98%

---

## 3. 阶段二：频次分配模型

### 3.1 分配原则

**核心思想**：按真实需求 $\tilde{\mu}_i$ 比例分配访问次数。

$$k_i = 1 + \text{Hamilton}\left(N - 70, \; w_i = \tilde{\mu}_i\right)$$

其中：
- 先给每个站点分配1次（满足覆盖约束C2）
- 剩余 $N - 70 = 660$ 次按权重 $\tilde{\mu}_i$ 做整数分配

### 3.2 Hamilton方法（最大余数法）

```python
def hamilton_allocation(total: int, weights: list) -> list:
    n = len(weights)
    w_sum = sum(weights)
    quotas = [total * w / w_sum for w in weights]
    floors = [int(q) for q in quotas]
    remainders = [q - f for q, f in zip(quotas, floors)]
    leftover = total - sum(floors)
    indices = sorted(range(n), key=lambda i: -remainders[i])
    for i in indices[:leftover]:
        floors[i] += 1
    return floors
```

### 3.3 实际分配结果

**验证**：
- 总访问次数：$\sum k_i = 730$ ✓
- 访问次数范围：$[2, 32]$
- 最小访问次数：2（满足覆盖约束）

**访问次数分布**：

```
k =  2:  1 个站点 █
k =  3: 14 个站点 ██████████████
k =  4:  2 个站点 ██
k =  5:  4 个站点 ████
k =  6:  4 个站点 ████
k =  8:  1 个站点 █
k =  9:  3 个站点 ███
k = 10:  3 个站点 ███
k = 11:  6 个站点 ██████
k = 12:  5 个站点 █████
k = 13:  6 个站点 ██████
k = 14:  5 个站点 █████
k = 15:  4 个站点 ████
k = 16:  2 个站点 ██
k = 17:  1 个站点 █
k = 18:  2 个站点 ██
k = 19:  4 个站点 ████
k = 20:  1 个站点 █
k = 22:  1 个站点 █
k = 32:  1 个站点 █
```

**频次最高的10个站点**：

| site_id | 站点名称 | $\mu$ | $\tilde{\mu}$ | $k$ | 年度服务量 |
|---------|---------|-------|---------------|-----|-----------|
| 66 | MFP Waverly | 396.6 | 471.9 | 32 | 12,692 |
| 2 | MFP Avoca | 314.6 | 323.2 | 22 | 6,921 |
| 17 | MFP Endwell United Methodist | 285.3 | 288.6 | 20 | 5,705 |
| 3 | MFP Bath | 279.5 | 279.5 | 19 | 5,310 |
| 13 | MFP College TC3 | 261.5 | 268.4 | 19 | 4,969 |
| 28 | MFP Rathbone | 269.1 | 269.1 | 19 | 5,113 |
| 32 | MFP Richford | 265.9 | 265.9 | 19 | 5,052 |
| 11 | MFP College Corning | 251.0 | 251.0 | 18 | 4,518 |
| 62 | MFP The Love Church | 259.3 | 259.3 | 18 | 4,668 |
| 31 | MFP Rehoboth Deliverance | 235.9 | 235.9 | 17 | 4,010 |

---

## 4. 阶段三：效果评估指标

### 4.1 有效性指标

**E1：原始总服务量**

$$E_1 = \sum_{i=1}^{70} k_i \cdot \mu_i$$

**E2：质量加权服务量**

$$E_2 = \sum_{i=1}^{70} k_i \cdot \mu_i \cdot q(\mu_i), \quad q(\mu) = \min\left(1, \frac{250}{\mu}\right)$$

### 4.2 公平性指标

**定义满足率**：

$$r_i = \frac{k_i \cdot \mu_i}{\tilde{\mu}_i}$$

- **F1**：满足率基尼系数 $\text{Gini}(\mathbf{r})$
- **F2**：最差站点满足率 $\min_i r_i$
- **F3**：满足率变异系数 $CV_r$

### 4.3 实际评估结果

| 方案 | E1 | E2 | F1 (Gini) | F2 (min r) | F3 (CV) |
|------|-----|-----|-----------|------------|---------|
| **推荐方案** (μ̃比例) | **140,120.6** | **131,673.2** | 0.314 | 2.00 | 0.561 |
| 基线1: 均匀分配 | 104,797.3 | 101,308.9 | **0.026** | **8.41** | **0.052** |
| 基线2: 2019缩放 | 104,070.7 | 100,263.8 | 0.092 | 5.00 | 0.177 |
| 基线3: μ比例(无修正) | 139,129.2 | 131,397.1 | 0.311 | 2.00 | 0.550 |

**推荐方案优势**：
- 相对均匀分配：E1 +33.7%，E2 +30.0%
- 相对2019缩放：E1 +34.6%，E2 +31.3%

**有效性-公平性权衡**：推荐方案最大化了总服务量，但公平性（Gini系数）较差。这是按需求比例分配的固有特性。

---

## 5. 阶段四：日历排程

### 5.1 目标

将 $\{k_i\}_{i=1}^{70}$ 转化为365天日历，满足每日2站点约束，并最小化访问间隔的不均匀性。

### 5.2 算法：贪心装箱 + 局部优化

1. **生成理想日期**：$t_{i,j}^* = \text{round}\left(\frac{(j + 0.5) \cdot 365}{k_i}\right)$
2. **贪心分配**：按理想日期排序，就近分配到可用槽位
3. **局部优化**：随机交换站点，若改善间隔方差则接受

### 5.3 实际排程结果

**验证**：
- 已分配访问事件：730 / 730 ✓
- 日历统计：365天满载 + 0天部分 + 0天空闲 ✓
- 局部优化：5000次迭代，接受33次改进

**间隔统计**：

| 指标 | 值 |
|------|-----|
| 平均间隔均值 | 55.4 天 |
| 平均间隔标准差 | 3.2 天 |
| 最大单次间隔 | 179 天 |
| 平均间隔CV | 0.103 |

**日历预览（前10天）**：

| 日期 | 站点1 | 站点2 |
|------|-------|-------|
| 1 | MFP Avoca | MFP Waverly |
| 2 | MFP Van Etten | MFP Endwell United Methodist |
| 3 | MFP Bath | MFP Richford |
| 4 | MFP College Corning | MFP College TC3 |
| 5 | MFP Rehoboth Deliverance | MFP Rathbone |
| 6 | MFP Waverly | MFP Redeemer Lutheran |
| 7 | MFP The Love Church | MFP Lindley |
| 8 | MFP Tuscarora | MFP Woodhull |
| 9 | MFP Endwell United Methodist | MFP Richford |
| 10 | MFP Bath | MFP College Corning |

---

## 6. 可复现流水线

### 6.1 脚本结构

```
task1/
├── 01_clean.py              # 数据清洗与标准化
├── 02_demand_correction.py  # 截断回归修正
├── 03_allocate.py           # Hamilton频次分配
├── 04_evaluate.py           # 评估指标计算
├── 05_schedule.py           # 日历排程生成
├── 01_clean.xlsx            # Step 1 输出
├── 02_demand.xlsx           # Step 2 输出
├── 03_allocate.xlsx         # Step 3 输出
├── 04_metrics.xlsx          # Step 4 输出
└── 05_schedule.xlsx         # Step 5 输出
```

### 6.2 运行方法

```bash
# 从项目根目录依次运行
python task1/01_clean.py
python task1/02_demand_correction.py
python task1/03_allocate.py
python task1/04_evaluate.py
python task1/05_schedule.py
```

### 6.3 关键参数

| 参数 | 值 | 位置 |
|------|-----|------|
| 有效容量上限 $C$ | 400 | `02_demand_correction.py` |
| 截断概率阈值 | 0.02 | `02_demand_correction.py` |
| 质量折扣阈值 $\bar{C}$ | 250 | `04_evaluate.py` |
| 年度总访问次数 $N$ | 730 | `03_allocate.py` |
| 全年天数 $T$ | 365 | `05_schedule.py` |

### 6.4 输出文件说明

| 文件 | 内容 |
|------|------|
| `01_clean.xlsx` | 标准化数据：site_id, site_name, lat, lon, visits_2019, mu, sigma |
| `02_demand.xlsx` | 需求修正：+ mu_tilde, p_trunc, is_corrected |
| `03_allocate.xlsx` | 频次分配：+ k, annual_service, r |
| `04_metrics.xlsx` | 评估指标：metrics_summary, site_details, parameters |
| `05_schedule.xlsx` | 日历排程：calendar, site_dates, gap_statistics, parameters |

---

## 7. 敏感性分析

### 7.1 参数范围

| 参数 | 符号 | 基准值 | 敏感性范围 |
|------|------|--------|-----------|
| 有效容量 | $C$ | 400 | {350, 400, 450} |
| 截断概率阈值 | $p^{trunc}$ | 0.02 | {0.01, 0.02, 0.05, 0.10} |
| 典型服务量 | $\bar{C}$ | 250 | {200, 250, 300} |

### 7.2 阈值敏感性

| 阈值 | 被修正站点数 | $\sum \tilde{\mu}$ 增幅 |
|------|-------------|----------------------|
| 0.01 | 7 | +1.2% |
| 0.02 | 5 | +0.98% |
| 0.05 | 2 | +0.82% |
| 0.10 | 1 | +0.76% |

---

## 8. 假设与局限性

### 8.1 显式假设

| 编号 | 假设 | 依据 |
|------|------|------|
| A1 | 真实需求服从正态分布 | 中心极限定理 |
| A2 | 有效容量 $C=400$ | 基于 $\mu_{max}=396.6$ |
| A3 | 2021年需求结构与2019年相似 | 题面要求使用2019数据 |
| A4 | 全年365天均可运营 | 简化假设 |
| A5 | 每日2站点为硬约束 | 题面"2 trucks" |

### 8.2 局限性

1. **截断修正的简化**：采用线性近似而非完整截断正态MLE
2. **需求外生性**：未建模"访问频次影响需求"的内生效应
3. **空间相关性**：未考虑相邻站点需求的空间自相关
4. **季节性**：未考虑需求的季节波动（如冬季低需求）

---

## 9. 结论与建议

### 9.1 方法论贡献

1. **识别截断偏误**：通过数据分析发现高需求站点的 $\mu$ 被容量截断，提出截断回归修正
2. **质量-数量权衡**：引入质量折扣因子 $q(\mu)$，避免简单最大化服务人次
3. **满足率公平**：以需求满足率而非访问次数衡量公平

### 9.2 对FBST的建议

1. **高需求站点**：MFP Waverly ($k=32$) 需求远超其他站点，建议考虑增派车辆或设立分站
2. **数据收集**：建议记录"被拒绝服务的客户数"以更准确估计真实需求
3. **动态调整**：建议季度末根据实际服务数据调整下季度排程

### 9.3 有效性-公平性权衡

推荐方案在有效性（总服务量）上显著优于基线，但公平性较差。若FBST更重视公平性，可考虑：
- 混合方案：在推荐方案基础上，对低频站点适当增加访问
- Pareto优化：在有效性-公平性前沿上选择平衡点

### 9.4 后续研究方向

- **Task 2**：考虑天气对需求的影响，建立动态调度模型
- **Task 3**：双站点同车访问的最优分配策略