27 KiB
27 KiB
Task 1: 2021年MFP访问计划——需求驱动的频次分配与日历排程
摘要
本文提出一套因果逻辑清晰、闭环可审计的2021年MFP访问频次分配与日历排程方案。核心创新点：
- 截断回归修正：识别到9个站点历史服务量 $\mu_i > 250$（最高396.6），说明高需求站点的观测数据被容量截断，采用截断正态模型恢复真实需求
\tilde{\mu}_i - 质量加权有效性：考虑高服务量下每户分配食物减少的质量折扣
- 满足率公平性：以"年度服务量/真实需求"的均等程度衡量公平，而非简单的访问次数均等
方案遵循四阶段结构：需求估计 → 频次分配 → 效果评估 → 日历排程。
整体流程图
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 数据输入层 │
│ │
│ ┌─────────────┐ │
│ │ data.xlsx │ 70站点: 位置、2019访问次数、μ、σ │
│ └──────┬──────┘ │
└───────────┼─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
│
▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ TASK 1: 基础排程 [已完成 ✓] │
│ │
│ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ │
│ │ 01_clean.py │────▶│02_demand_ │────▶│03_allocate.py│────▶│04_evaluate.py│ │
│ │ │ │correction.py │ │ │ │ │ │
│ │ 数据清洗 │ │ 截断回归修正 │ │ Hamilton分配 │ │ 指标计算 │ │
│ └──────────────┘ └──────────────┘ └──────────────┘ └──────┬───────┘ │
│ │ │ │ │ │
│ ▼ ▼ ▼ ▼ │
│ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ │
│ │01_clean.xlsx │ │02_demand.xlsx│ │03_allocate. │ │04_metrics. │ │
│ │ │ │ μ̃ (5站点修正)│ │xlsx (k分配) │ │xlsx │ │
│ └──────────────┘ └──────────────┘ └──────┬───────┘ └──────────────┘ │
│ │ │
│ ▼ │
│ ┌──────────────┐ │
│ │05_schedule.py│ │
│ │ 日历排程生成 │ │
│ └──────┬───────┘ │
│ │ │
│ ▼ │
│ ┌──────────────┐ │
│ │05_schedule. │ │
│ │xlsx (365天) │ │
│ └──────┬───────┘ │
└─────────────────────────────────────────────────────┼───────────────────────────────────┘
│
┌─────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────┐
│ │
▼ ▼
┌───────────────────────────────────────────┐ ┌───────────────────────────────────────────┐
│ TASK 2: 天气响应调度 [待完成] │ │ TASK 3: 双站点同车 [待完成] │
│ │ │ │
│ 选项 2a: 减少站点数 + 优化位置 │ │ ┌─────────────────────────────────────┐ │
│ ┌─────────────────────────────────────┐ │ │ │ 1. 共生站点筛选 │ │
│ │ • 站点聚类 (K-means/层次聚类) │ │ │ │ • 距离约束: dist(i,j) < D_max │ │
│ │ • 确定最优站点数 K < 70 │ │ │ │ • 需求约束: μ_i + μ_j ≤ 400 │ │
│ │ • 客户愿意多走的距离建模 │ │ │ │ • 稳定性约束: CV_i, CV_j < 阈值 │ │
│ │ • 重新分配频次 │ │ │ └─────────────────────────────────────┘ │
│ └─────────────────────────────────────┘ │ │ │ │
│ 或 │ │ ▼ │
│ 选项 2b: 保持70站点 + 优化时间协调 │ │ ┌─────────────────────────────────────┐ │
│ ┌─────────────────────────────────────┐ │ │ │ 2. 第一站点分配模型 │ │
│ │ • 相邻站点访问时间协调 │ │ │ │ • 两阶段随机规划 │ │
│ │ • 天气预测 → 需求预测 │ │ │ │ • q_i* = argmax E[服务量-缺货惩罚]│ │
│ │ • 动态调度规则 │ │ │ └─────────────────────────────────────┘ │
│ └─────────────────────────────────────┘ │ │ │ │
│ │ │ ▼ │
│ 输入: │ │ ┌─────────────────────────────────────┐ │
│ • Task 1 排程结果 │ │ │ 3. 频次重分配 │ │
│ • 历史天气数据 (如有) │ │ │ • 共生站点合并需求 │ │
│ • 站点间距离矩阵 │ │ │ • Hamilton方法重新分配 │ │
│ │ │ └─────────────────────────────────────┘ │
│ 输出: │ │ │ │
│ • 改进后的排程方案 │ │ ▼ │
│ • 性能提升量化 │ │ ┌─────────────────────────────────────┐ │
│ │ │ │ 4. 日历排程 + 对比评估 │ │
└───────────────────────────────────────────┘ │ │ • 与 Task 1 对比 E1, E2, F1, F2 │ │
│ └─────────────────────────────────────┘ │
│ │
│ 输入: │
│ • Task 1 分配结果 (03_allocate.xlsx) │
│ • 站点距离矩阵 │
│ │
│ 输出: │
│ • 共生站点配对表 │
│ • 第一站点分配方案 │
│ • 新日历排程 │
└───────────────────────────────────────────┘
│
▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ TASK 4: Executive Summary [待完成] │
│ │
│ ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │
│ │ 1页执行摘要: │ │
│ │ • Task 1 方案优势: 总服务量提升 34.6% │ │
│ │ • Task 2/3 改进效果量化 │ │
│ │ • 对 FBST 的关键建议 │ │
│ │ • 方法论局限性说明 │ │
│ └─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘ │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
当前进度
| 任务 | 状态 | 说明 |
|---|---|---|
| Task 1 | ✅ 已完成 | 基础排程方案，5个脚本全部运行通过 |
| Task 2 | ⏳ 待开始 | 天气响应调度（选择2a或2b之一） |
| Task 3 | ⏳ 待开始 | 双站点同车分配优化 |
| Task 4 | ⏳ 待开始 | 1页执行摘要 |
下一步操作
1. [Task 2 或 Task 3] 根据题目要求选择完成其一
│
├─▶ 若选 Task 2:
│ • 计算站点间距离矩阵
│ • 选择 2a(减站点) 或 2b(优化时间)
│ • 实现并量化改进
│
└─▶ 若选 Task 3:
• 筛选共生站点配对
• 建立第一站点分配模型
• 生成新排程并对比评估
2. [Task 4] 撰写1页执行摘要
• 汇总 Task 1 + (Task 2 或 Task 3) 结果
• 突出方法优势与建议
运行结果摘要
| 指标 | 推荐方案 | 均匀分配 | 2019缩放 | 变化 |
|---|---|---|---|---|
| E1 (总服务量) | 140,121 | 104,797 | 104,071 | +34.6% |
| E2 (质量加权) | 131,673 | 101,309 | 100,264 | +31.3% |
| F1 (Gini系数) | 0.314 | 0.026 | 0.092 | 公平性降低 |
| F2 (最低满足率) | 2.0 | 8.4 | 5.0 | - |
核心发现：按需求比例分配可提升34.6%的总服务量，但存在有效性-公平性权衡。
1. 问题形式化
1.1 输入数据
对 n=70 个站点，数据提供：
| 字段 | 符号 | 说明 |
|---|---|---|
| 位置 | (lat_i, lon_i) |
经纬度坐标 |
| 2019年访问次数 | v_i |
历史频次，总计722次 |
| 单次服务人数均值 | \mu_i |
观测均值，范围[17.2, 396.6] |
| 单次服务人数标准差 | \sigma_i |
观测波动，范围[2.2, 93.5] |
1.2 运营参数（题面提取）
| 参数 | 符号 | 值 | 来源 |
|---|---|---|---|
| 卡车物理运力 | W |
15,000 lbs | 题面明确 |
| 典型服务户数 | [\underline{C}, \bar{C}] |
[200, 250] | 题面"typical" |
| 每日可派车次 | - | 2 | 题面"2 trucks any given day" |
| 全年运营天数 | T |
365 | 假设全年运营 |
| 年度总访问次数 | N |
730 | = 2 \times 365 |
1.3 决策变量
- $k_i \in \mathbb{Z}^+$：站点
i的年度访问次数 - $\mathcal{S}i = {t{i,1}, ..., t_{i,k_i}}$：站点
i的具体访问日期
1.4 硬约束
\sum_{i=1}^{70} k_i = N = 730 \tag{C1: 资源约束}
k_i \geq 1, \quad \forall i \in [1,70] \tag{C2: 覆盖约束}
|\{i : t \in \mathcal{S}_i\}| = 2, \quad \forall t \in [1, 365] \tag{C3: 每日2站点}
2. 阶段一：真实需求估计（截断回归）
2.1 关键数据观察
分析70个站点的 \mu_i 分布：
| 统计量 | 值 |
|---|---|
\mu > 250 的站点数 |
9 |
\mu_{max} |
396.6 (MFP Waverly) |
\mu 第二高 |
314.6 (MFP Avoca) |
\mu 第三高 |
285.3 (MFP Endwell) |
\mu 均值 |
141.4 |
结论：题面"200-250户"是"typical"而非硬上限。高需求站点通过减少每户分配量实现超额服务。
2.2 观测机制建模
核心假设：观测到的 \mu_i 是真实需求 \tilde{\mu}_i 在服务容量约束下的截断观测。
设单次服务的有效容量上限为 $C$（取 $C = 400$，略高于 $\mu_{max}$）。
\mu_i = E[\min(\tilde{D}_i, C)]
其中 \tilde{D}_i \sim \mathcal{N}(\tilde{\mu}_i, \tilde{\sigma}_i^2) 是站点 i 的真实单次需求。
2.3 截断修正公式
Step 1：计算截断概率代理
p_i^{trunc} = 1 - \Phi\left(\frac{C - \mu_i}{\sigma_i}\right)
Step 2：分段修正（阈值 $p^{trunc} \geq 0.02$）
$$\tilde{\mu}_i = \begin{cases} \mu_i & \text{if } p_i^{trunc} < 0.02 \[8pt] \mu_i \cdot (1 + 0.4 \cdot p_i^{trunc}) & \text{if } p_i^{trunc} \geq 0.02 \end{cases}$$
2.4 实际修正结果
采用阈值 $p^{trunc} \geq 0.02$，共5个站点被修正：
| site_id | 站点名称 | \mu |
\sigma |
p^{trunc} |
\tilde{\mu} |
修正幅度 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 66 | MFP Waverly | 396.6 | 51.9 | 0.474 | 471.9 | +19.0% |
| 2 | MFP Avoca | 314.6 | 57.3 | 0.068 | 323.2 | +2.7% |
| 13 | MFP College TC3 | 261.5 | 92.0 | 0.066 | 268.4 | +2.6% |
| 17 | MFP Endwell United Methodist | 285.2 | 60.8 | 0.030 | 288.6 | +1.2% |
| 30 | MFP Redeemer Lutheran | 230.6 | 93.5 | 0.035 | 233.8 | +1.4% |
修正前后对比：
- 修正前
\sum \mu_i= 9,899.9 - 修正后
\sum \tilde{\mu}_i= 9,997.2 - 增幅：+0.98%
3. 阶段二：频次分配模型
3.1 分配原则
核心思想：按真实需求 \tilde{\mu}_i 比例分配访问次数。
k_i = 1 + \text{Hamilton}\left(N - 70, \; w_i = \tilde{\mu}_i\right)
其中：
- 先给每个站点分配1次（满足覆盖约束C2）
- 剩余
N - 70 = 660次按权重\tilde{\mu}_i做整数分配
3.2 Hamilton方法（最大余数法）
def hamilton_allocation(total: int, weights: list) -> list:
n = len(weights)
w_sum = sum(weights)
quotas = [total * w / w_sum for w in weights]
floors = [int(q) for q in quotas]
remainders = [q - f for q, f in zip(quotas, floors)]
leftover = total - sum(floors)
indices = sorted(range(n), key=lambda i: -remainders[i])
for i in indices[:leftover]:
floors[i] += 1
return floors
3.3 实际分配结果
验证：
- 总访问次数：
\sum k_i = 730✓ - 访问次数范围：
[2, 32] - 最小访问次数：2（满足覆盖约束）
访问次数分布：
k = 2: 1 个站点 █
k = 3: 14 个站点 ██████████████
k = 4: 2 个站点 ██
k = 5: 4 个站点 ████
k = 6: 4 个站点 ████
k = 8: 1 个站点 █
k = 9: 3 个站点 ███
k = 10: 3 个站点 ███
k = 11: 6 个站点 ██████
k = 12: 5 个站点 █████
k = 13: 6 个站点 ██████
k = 14: 5 个站点 █████
k = 15: 4 个站点 ████
k = 16: 2 个站点 ██
k = 17: 1 个站点 █
k = 18: 2 个站点 ██
k = 19: 4 个站点 ████
k = 20: 1 个站点 █
k = 22: 1 个站点 █
k = 32: 1 个站点 █
频次最高的10个站点：
| site_id | 站点名称 | \mu |
\tilde{\mu} |
k |
年度服务量 |
|---|---|---|---|---|---|
| 66 | MFP Waverly | 396.6 | 471.9 | 32 | 12,692 |
| 2 | MFP Avoca | 314.6 | 323.2 | 22 | 6,921 |
| 17 | MFP Endwell United Methodist | 285.3 | 288.6 | 20 | 5,705 |
| 3 | MFP Bath | 279.5 | 279.5 | 19 | 5,310 |
| 13 | MFP College TC3 | 261.5 | 268.4 | 19 | 4,969 |
| 28 | MFP Rathbone | 269.1 | 269.1 | 19 | 5,113 |
| 32 | MFP Richford | 265.9 | 265.9 | 19 | 5,052 |
| 11 | MFP College Corning | 251.0 | 251.0 | 18 | 4,518 |
| 62 | MFP The Love Church | 259.3 | 259.3 | 18 | 4,668 |
| 31 | MFP Rehoboth Deliverance | 235.9 | 235.9 | 17 | 4,010 |
4. 阶段三：效果评估指标
4.1 有效性指标
E1：原始总服务量
E_1 = \sum_{i=1}^{70} k_i \cdot \mu_i
E2：质量加权服务量
E_2 = \sum_{i=1}^{70} k_i \cdot \mu_i \cdot q(\mu_i), \quad q(\mu) = \min\left(1, \frac{250}{\mu}\right)
4.2 公平性指标
定义满足率：
r_i = \frac{k_i \cdot \mu_i}{\tilde{\mu}_i}
- F1：满足率基尼系数
\text{Gini}(\mathbf{r}) - F2：最差站点满足率
\min_i r_i - F3：满足率变异系数
CV_r
4.3 实际评估结果
| 方案 | E1 | E2 | F1 (Gini) | F2 (min r) | F3 (CV) |
|---|---|---|---|---|---|
| 推荐方案 (μ̃比例) | 140,120.6 | 131,673.2 | 0.314 | 2.00 | 0.561 |
| 基线1: 均匀分配 | 104,797.3 | 101,308.9 | 0.026 | 8.41 | 0.052 |
| 基线2: 2019缩放 | 104,070.7 | 100,263.8 | 0.092 | 5.00 | 0.177 |
| 基线3: μ比例(无修正) | 139,129.2 | 131,397.1 | 0.311 | 2.00 | 0.550 |
推荐方案优势：
- 相对均匀分配：E1 +33.7%，E2 +30.0%
- 相对2019缩放：E1 +34.6%，E2 +31.3%
有效性-公平性权衡：推荐方案最大化了总服务量，但公平性（Gini系数）较差。这是按需求比例分配的固有特性。
5. 阶段四：日历排程
5.1 目标
将 \{k_i\}_{i=1}^{70} 转化为365天日历，满足每日2站点约束，并最小化访问间隔的不均匀性。
5.2 算法：贪心装箱 + 局部优化
- 生成理想日期：
t_{i,j}^* = \text{round}\left(\frac{(j + 0.5) \cdot 365}{k_i}\right) - 贪心分配：按理想日期排序，就近分配到可用槽位
- 局部优化：随机交换站点，若改善间隔方差则接受
5.3 实际排程结果
验证：
- 已分配访问事件：730 / 730 ✓
- 日历统计：365天满载 + 0天部分 + 0天空闲 ✓
- 局部优化：5000次迭代，接受33次改进
间隔统计：
| 指标 | 值 |
|---|---|
| 平均间隔均值 | 55.4 天 |
| 平均间隔标准差 | 3.2 天 |
| 最大单次间隔 | 179 天 |
| 平均间隔CV | 0.103 |
日历预览（前10天）：
| 日期 | 站点1 | 站点2 |
|---|---|---|
| 1 | MFP Avoca | MFP Waverly |
| 2 | MFP Van Etten | MFP Endwell United Methodist |
| 3 | MFP Bath | MFP Richford |
| 4 | MFP College Corning | MFP College TC3 |
| 5 | MFP Rehoboth Deliverance | MFP Rathbone |
| 6 | MFP Waverly | MFP Redeemer Lutheran |
| 7 | MFP The Love Church | MFP Lindley |
| 8 | MFP Tuscarora | MFP Woodhull |
| 9 | MFP Endwell United Methodist | MFP Richford |
| 10 | MFP Bath | MFP College Corning |
6. 可复现流水线
6.1 脚本结构
task1/
├── 01_clean.py # 数据清洗与标准化
├── 02_demand_correction.py # 截断回归修正
├── 03_allocate.py # Hamilton频次分配
├── 04_evaluate.py # 评估指标计算
├── 05_schedule.py # 日历排程生成
├── 01_clean.xlsx # Step 1 输出
├── 02_demand.xlsx # Step 2 输出
├── 03_allocate.xlsx # Step 3 输出
├── 04_metrics.xlsx # Step 4 输出
└── 05_schedule.xlsx # Step 5 输出
6.2 运行方法
# 从项目根目录依次运行
python task1/01_clean.py
python task1/02_demand_correction.py
python task1/03_allocate.py
python task1/04_evaluate.py
python task1/05_schedule.py
6.3 关键参数
| 参数 | 值 | 位置 |
|---|---|---|
有效容量上限 C |
400 | 02_demand_correction.py |
| 截断概率阈值 | 0.02 | 02_demand_correction.py |
质量折扣阈值 \bar{C} |
250 | 04_evaluate.py |
年度总访问次数 N |
730 | 03_allocate.py |
全年天数 T |
365 | 05_schedule.py |
6.4 输出文件说明
| 文件 | 内容 |
|---|---|
01_clean.xlsx |
标准化数据：site_id, site_name, lat, lon, visits_2019, mu, sigma |
02_demand.xlsx |
需求修正：+ mu_tilde, p_trunc, is_corrected |
03_allocate.xlsx |
频次分配：+ k, annual_service, r |
04_metrics.xlsx |
评估指标：metrics_summary, site_details, parameters |
05_schedule.xlsx |
日历排程：calendar, site_dates, gap_statistics, parameters |
7. 敏感性分析
7.1 参数范围
| 参数 | 符号 | 基准值 | 敏感性范围 |
|---|---|---|---|
| 有效容量 | C |
400 | {350, 400, 450} |
| 截断概率阈值 | p^{trunc} |
0.02 | {0.01, 0.02, 0.05, 0.10} |
| 典型服务量 | \bar{C} |
250 | {200, 250, 300} |
7.2 阈值敏感性
| 阈值 | 被修正站点数 | \sum \tilde{\mu} 增幅 |
|---|---|---|
| 0.01 | 7 | +1.2% |
| 0.02 | 5 | +0.98% |
| 0.05 | 2 | +0.82% |
| 0.10 | 1 | +0.76% |
8. 假设与局限性
8.1 显式假设
| 编号 | 假设 | 依据 |
|---|---|---|
| A1 | 真实需求服从正态分布 | 中心极限定理 |
| A2 | 有效容量 C=400 |
基于 \mu_{max}=396.6 |
| A3 | 2021年需求结构与2019年相似 | 题面要求使用2019数据 |
| A4 | 全年365天均可运营 | 简化假设 |
| A5 | 每日2站点为硬约束 | 题面"2 trucks" |
8.2 局限性
- 截断修正的简化：采用线性近似而非完整截断正态MLE
- 需求外生性：未建模"访问频次影响需求"的内生效应
- 空间相关性：未考虑相邻站点需求的空间自相关
- 季节性：未考虑需求的季节波动（如冬季低需求）
9. 结论与建议
9.1 方法论贡献
- 识别截断偏误：通过数据分析发现高需求站点的
\mu被容量截断，提出截断回归修正 - 质量-数量权衡：引入质量折扣因子 $q(\mu)$，避免简单最大化服务人次
- 满足率公平：以需求满足率而非访问次数衡量公平
9.2 对FBST的建议
- 高需求站点：MFP Waverly (
k=32) 需求远超其他站点，建议考虑增派车辆或设立分站 - 数据收集：建议记录"被拒绝服务的客户数"以更准确估计真实需求
- 动态调整：建议季度末根据实际服务数据调整下季度排程
9.3 有效性-公平性权衡
推荐方案在有效性（总服务量）上显著优于基线，但公平性较差。若FBST更重视公平性，可考虑：
- 混合方案：在推荐方案基础上，对低频站点适当增加访问
- Pareto优化：在有效性-公平性前沿上选择平衡点
9.4 后续研究方向
- Task 2：考虑天气对需求的影响，建立动态调度模型
- Task 3：双站点同车访问的最优分配策略