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# Task 1: 2021年MFP访问计划——需求驱动的频次分配与日历排程
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## 摘要
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本文提出一套**因果逻辑清晰、闭环可审计**的2021年MFP访问频次分配与日历排程方案。核心创新点：
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1. **截断回归修正**：识别到9个站点历史服务量 $\mu_i > 250$（最高396.6），说明高需求站点的观测数据被容量截断，采用截断正态模型恢复真实需求 $\tilde{\mu}_i$
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2. **质量加权有效性**：考虑高服务量下每户分配食物减少的质量折扣
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3. **满足率公平性**：以"年度服务量/真实需求"的均等程度衡量公平，而非简单的访问次数均等
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方案遵循四阶段结构：需求估计 → 频次分配 → 效果评估 → 日历排程。
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## 整体流程图
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
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│ 数据输入层 │
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│ │
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│ ┌─────────────┐ │
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│ │ data.xlsx │ 70站点: 位置、2019访问次数、μ、σ │
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│ └──────┬──────┘ │
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└───────────┼─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
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│ TASK 1: 基础排程 [已完成 ✓] │
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│ │
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│ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ │
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│ │ 01_clean.py │────▶│02_demand_ │────▶│03_allocate.py│────▶│04_evaluate.py│ │
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│ │ │ │correction.py │ │ │ │ │ │
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│ │ 数据清洗 │ │ 截断回归修正 │ │ Hamilton分配 │ │ 指标计算 │ │
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│ └──────────────┘ └──────────────┘ └──────────────┘ └──────┬───────┘ │
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│ │ │ │ │ │
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│ ▼ ▼ ▼ ▼ │
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│ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ │
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│ │01_clean.xlsx │ │02_demand.xlsx│ │03_allocate. │ │04_metrics. │ │
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│ │ │ │ μ̃ (5站点修正)│ │xlsx (k分配) │ │xlsx │ │
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│ └──────────────┘ └──────────────┘ └──────┬───────┘ └──────────────┘ │
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│ │ │
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│ ▼ │
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│ ┌──────────────┐ │
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│ │05_schedule.py│ │
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│ │ 日历排程生成 │ │
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│ └──────┬───────┘ │
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│ │ │
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│ ▼ │
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│ ┌──────────────┐ │
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│ │05_schedule. │ │
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│ │xlsx (365天) │ │
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│ └──────┬───────┘ │
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└─────────────────────────────────────────────────────┼───────────────────────────────────┘
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┌─────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────┐
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│ │
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▼ ▼
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┌───────────────────────────────────────────┐ ┌───────────────────────────────────────────┐
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│ TASK 2: 天气响应调度 [待完成] │ │ TASK 3: 双站点同车 [待完成] │
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│ │ │ │
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│ 选项 2a: 减少站点数 + 优化位置 │ │ ┌─────────────────────────────────────┐ │
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│ ┌─────────────────────────────────────┐ │ │ │ 1. 共生站点筛选 │ │
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│ │ • 站点聚类 (K-means/层次聚类) │ │ │ │ • 距离约束: dist(i,j) < D_max │ │
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│ │ • 确定最优站点数 K < 70 │ │ │ │ • 需求约束: μ_i + μ_j ≤ 400 │ │
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│ │ • 客户愿意多走的距离建模 │ │ │ │ • 稳定性约束: CV_i, CV_j < 阈值 │ │
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│ │ • 重新分配频次 │ │ │ └─────────────────────────────────────┘ │
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│ └─────────────────────────────────────┘ │ │ │ │
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│ 或 │ │ ▼ │
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│ 选项 2b: 保持70站点 + 优化时间协调 │ │ ┌─────────────────────────────────────┐ │
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│ ┌─────────────────────────────────────┐ │ │ │ 2. 第一站点分配模型 │ │
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│ │ • 相邻站点访问时间协调 │ │ │ │ • 两阶段随机规划 │ │
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│ │ • 天气预测 → 需求预测 │ │ │ │ • q_i* = argmax E[服务量-缺货惩罚]│ │
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│ │ • 动态调度规则 │ │ │ └─────────────────────────────────────┘ │
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│ └─────────────────────────────────────┘ │ │ │ │
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│ │ │ ▼ │
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│ 输入: │ │ ┌─────────────────────────────────────┐ │
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│ • Task 1 排程结果 │ │ │ 3. 频次重分配 │ │
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│ • 历史天气数据 (如有) │ │ │ • 共生站点合并需求 │ │
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│ • 站点间距离矩阵 │ │ │ • Hamilton方法重新分配 │ │
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│ │ │ └─────────────────────────────────────┘ │
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│ 输出: │ │ │ │
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│ • 改进后的排程方案 │ │ ▼ │
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│ • 性能提升量化 │ │ ┌─────────────────────────────────────┐ │
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│ │ │ │ 4. 日历排程 + 对比评估 │ │
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└───────────────────────────────────────────┘ │ │ • 与 Task 1 对比 E1, E2, F1, F2 │ │
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│ └─────────────────────────────────────┘ │
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│ │
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│ 输入: │
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│ • Task 1 分配结果 (03_allocate.xlsx) │
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│ • 站点距离矩阵 │
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│ │
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│ 输出: │
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│ • 共生站点配对表 │
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│ • 第一站点分配方案 │
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│ • 新日历排程 │
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└───────────────────────────────────────────┘
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│
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
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│ TASK 4: Executive Summary [待完成] │
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│ │
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│ ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │
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│ │ 1页执行摘要: │ │
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│ │ • Task 1 方案优势: 总服务量提升 34.6% │ │
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│ │ • Task 2/3 改进效果量化 │ │
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│ │ • 对 FBST 的关键建议 │ │
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│ │ • 方法论局限性说明 │ │
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│ └─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘ │
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└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
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### 当前进度
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| 任务 | 状态 | 说明 |
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| Task 1 | ✅ 已完成 | 基础排程方案，5个脚本全部运行通过 |
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| Task 2 | ⏳ 待开始 | 天气响应调度（选择2a或2b之一）|
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| Task 3 | ⏳ 待开始 | 双站点同车分配优化 |
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| Task 4 | ⏳ 待开始 | 1页执行摘要 |
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### 下一步操作
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1. [Task 2 或 Task 3] 根据题目要求选择完成其一
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├─▶ 若选 Task 2:
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│ • 计算站点间距离矩阵
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│ • 选择 2a(减站点) 或 2b(优化时间)
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│ • 实现并量化改进
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│
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└─▶ 若选 Task 3:
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• 筛选共生站点配对
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• 建立第一站点分配模型
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• 生成新排程并对比评估
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2. [Task 4] 撰写1页执行摘要
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• 汇总 Task 1 + (Task 2 或 Task 3) 结果
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• 突出方法优势与建议
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## 运行结果摘要
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| 指标 | 推荐方案 | 均匀分配 | 2019缩放 | 变化 |
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|------|---------|---------|---------|------|
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| E1 (总服务量) | **140,121** | 104,797 | 104,071 | +34.6% |
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| E2 (质量加权) | **131,673** | 101,309 | 100,264 | +31.3% |
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| F1 (Gini系数) | 0.314 | **0.026** | 0.092 | 公平性降低 |
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| F2 (最低满足率) | 2.0 | **8.4** | 5.0 | - |
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**核心发现**：按需求比例分配可提升34.6%的总服务量，但存在有效性-公平性权衡。
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## 1. 问题形式化
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### 1.1 输入数据
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对 $n=70$ 个站点，数据提供：
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| 字段 | 符号 | 说明 |
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| 位置 | $(lat_i, lon_i)$ | 经纬度坐标 |
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| 2019年访问次数 | $v_i$ | 历史频次，总计722次 |
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| 单次服务人数均值 | $\mu_i$ | 观测均值，范围[17.2, 396.6] |
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| 单次服务人数标准差 | $\sigma_i$ | 观测波动，范围[2.2, 93.5] |
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### 1.2 运营参数（题面提取）
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| 参数 | 符号 | 值 | 来源 |
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|------|------|-----|------|
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| 卡车物理运力 | $W$ | 15,000 lbs | 题面明确 |
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| 典型服务户数 | $[\underline{C}, \bar{C}]$ | [200, 250] | 题面"typical" |
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| 每日可派车次 | - | 2 | 题面"2 trucks any given day" |
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| 全年运营天数 | $T$ | 365 | 假设全年运营 |
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| 年度总访问次数 | $N$ | 730 | $= 2 \times 365$ |
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### 1.3 决策变量
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- $k_i \in \mathbb{Z}^+$：站点 $i$ 的年度访问次数
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- $\mathcal{S}_i = \{t_{i,1}, ..., t_{i,k_i}\}$：站点 $i$ 的具体访问日期
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### 1.4 硬约束
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$$\sum_{i=1}^{70} k_i = N = 730 \tag{C1: 资源约束}$$
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$$k_i \geq 1, \quad \forall i \in [1,70] \tag{C2: 覆盖约束}$$
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$$|\{i : t \in \mathcal{S}_i\}| = 2, \quad \forall t \in [1, 365] \tag{C3: 每日2站点}$$
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## 2. 阶段一：真实需求估计（截断回归）
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### 2.1 关键数据观察
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分析70个站点的 $\mu_i$ 分布：
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| 统计量 | 值 |
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|--------|-----|
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| $\mu > 250$ 的站点数 | 9 |
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| $\mu_{max}$ | 396.6 (MFP Waverly) |
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| $\mu$ 第二高 | 314.6 (MFP Avoca) |
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| $\mu$ 第三高 | 285.3 (MFP Endwell) |
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| $\mu$ 均值 | 141.4 |
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**结论**：题面"200-250户"是"typical"而非硬上限。高需求站点通过减少每户分配量实现超额服务。
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### 2.2 观测机制建模
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**核心假设**：观测到的 $\mu_i$ 是真实需求 $\tilde{\mu}_i$ 在服务容量约束下的截断观测。
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设单次服务的有效容量上限为 $C$（取 $C = 400$，略高于 $\mu_{max}$）。
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$$\mu_i = E[\min(\tilde{D}_i, C)]$$
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其中 $\tilde{D}_i \sim \mathcal{N}(\tilde{\mu}_i, \tilde{\sigma}_i^2)$ 是站点 $i$ 的真实单次需求。
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### 2.3 截断修正公式
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**Step 1**：计算截断概率代理
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$$p_i^{trunc} = 1 - \Phi\left(\frac{C - \mu_i}{\sigma_i}\right)$$
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**Step 2**：分段修正（阈值 $p^{trunc} \geq 0.02$）
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$$\tilde{\mu}_i = \begin{cases}
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\mu_i & \text{if } p_i^{trunc} < 0.02 \\[8pt]
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\mu_i \cdot (1 + 0.4 \cdot p_i^{trunc}) & \text{if } p_i^{trunc} \geq 0.02
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\end{cases}$$
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### 2.4 实际修正结果
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采用阈值 $p^{trunc} \geq 0.02$，共5个站点被修正：
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| site_id | 站点名称 | $\mu$ | $\sigma$ | $p^{trunc}$ | $\tilde{\mu}$ | 修正幅度 |
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|---------|---------|-------|----------|-------------|---------------|----------|
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| 66 | MFP Waverly | 396.6 | 51.9 | 0.474 | 471.9 | +19.0% |
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| 2 | MFP Avoca | 314.6 | 57.3 | 0.068 | 323.2 | +2.7% |
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| 13 | MFP College TC3 | 261.5 | 92.0 | 0.066 | 268.4 | +2.6% |
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| 17 | MFP Endwell United Methodist | 285.2 | 60.8 | 0.030 | 288.6 | +1.2% |
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| 30 | MFP Redeemer Lutheran | 230.6 | 93.5 | 0.035 | 233.8 | +1.4% |
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**修正前后对比**：
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- 修正前 $\sum \mu_i$ = 9,899.9
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- 修正后 $\sum \tilde{\mu}_i$ = 9,997.2
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- 增幅：+0.98%
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## 3. 阶段二：频次分配模型
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### 3.1 分配原则
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**核心思想**：按真实需求 $\tilde{\mu}_i$ 比例分配访问次数。
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$$k_i = 1 + \text{Hamilton}\left(N - 70, \; w_i = \tilde{\mu}_i\right)$$
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其中：
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- 先给每个站点分配1次（满足覆盖约束C2）
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- 剩余 $N - 70 = 660$ 次按权重 $\tilde{\mu}_i$ 做整数分配
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### 3.2 Hamilton方法（最大余数法）
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```python
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def hamilton_allocation(total: int, weights: list) -> list:
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n = len(weights)
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w_sum = sum(weights)
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quotas = [total * w / w_sum for w in weights]
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floors = [int(q) for q in quotas]
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remainders = [q - f for q, f in zip(quotas, floors)]
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leftover = total - sum(floors)
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indices = sorted(range(n), key=lambda i: -remainders[i])
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for i in indices[:leftover]:
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floors[i] += 1
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return floors
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```
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### 3.3 实际分配结果
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**验证**：
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- 总访问次数：$\sum k_i = 730$ ✓
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- 访问次数范围：$[2, 32]$
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- 最小访问次数：2（满足覆盖约束）
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**访问次数分布**：
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```
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k = 2: 1 个站点 █
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k = 3: 14 个站点 ██████████████
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k = 4: 2 个站点 ██
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k = 5: 4 个站点 ████
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k = 6: 4 个站点 ████
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k = 8: 1 个站点 █
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k = 9: 3 个站点 ███
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k = 10: 3 个站点 ███
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k = 11: 6 个站点 ██████
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k = 12: 5 个站点 █████
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k = 13: 6 个站点 ██████
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k = 14: 5 个站点 █████
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k = 15: 4 个站点 ████
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k = 16: 2 个站点 ██
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k = 17: 1 个站点 █
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k = 18: 2 个站点 ██
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k = 19: 4 个站点 ████
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k = 20: 1 个站点 █
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k = 22: 1 个站点 █
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k = 32: 1 个站点 █
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```
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**频次最高的10个站点**：
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| site_id | 站点名称 | $\mu$ | $\tilde{\mu}$ | $k$ | 年度服务量 |
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|---------|---------|-------|---------------|-----|-----------|
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| 66 | MFP Waverly | 396.6 | 471.9 | 32 | 12,692 |
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| 2 | MFP Avoca | 314.6 | 323.2 | 22 | 6,921 |
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| 17 | MFP Endwell United Methodist | 285.3 | 288.6 | 20 | 5,705 |
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| 3 | MFP Bath | 279.5 | 279.5 | 19 | 5,310 |
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| 13 | MFP College TC3 | 261.5 | 268.4 | 19 | 4,969 |
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| 28 | MFP Rathbone | 269.1 | 269.1 | 19 | 5,113 |
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| 32 | MFP Richford | 265.9 | 265.9 | 19 | 5,052 |
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| 11 | MFP College Corning | 251.0 | 251.0 | 18 | 4,518 |
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| 62 | MFP The Love Church | 259.3 | 259.3 | 18 | 4,668 |
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| 31 | MFP Rehoboth Deliverance | 235.9 | 235.9 | 17 | 4,010 |
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## 4. 阶段三：效果评估指标
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### 4.1 有效性指标
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**E1：原始总服务量**
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$$E_1 = \sum_{i=1}^{70} k_i \cdot \mu_i$$
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**E2：质量加权服务量**
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$$E_2 = \sum_{i=1}^{70} k_i \cdot \mu_i \cdot q(\mu_i), \quad q(\mu) = \min\left(1, \frac{250}{\mu}\right)$$
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### 4.2 公平性指标
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**定义满足率**：
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$$r_i = \frac{k_i \cdot \mu_i}{\tilde{\mu}_i}$$
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- **F1**：满足率基尼系数 $\text{Gini}(\mathbf{r})$
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- **F2**：最差站点满足率 $\min_i r_i$
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- **F3**：满足率变异系数 $CV_r$
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### 4.3 实际评估结果
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| 方案 | E1 | E2 | F1 (Gini) | F2 (min r) | F3 (CV) |
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|------|-----|-----|-----------|------------|---------|
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| **推荐方案** (μ̃比例) | **140,120.6** | **131,673.2** | 0.314 | 2.00 | 0.561 |
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| 基线1: 均匀分配 | 104,797.3 | 101,308.9 | **0.026** | **8.41** | **0.052** |
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| 基线2: 2019缩放 | 104,070.7 | 100,263.8 | 0.092 | 5.00 | 0.177 |
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| 基线3: μ比例(无修正) | 139,129.2 | 131,397.1 | 0.311 | 2.00 | 0.550 |
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**推荐方案优势**：
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- 相对均匀分配：E1 +33.7%，E2 +30.0%
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- 相对2019缩放：E1 +34.6%，E2 +31.3%
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**有效性-公平性权衡**：推荐方案最大化了总服务量，但公平性（Gini系数）较差。这是按需求比例分配的固有特性。
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## 5. 阶段四：日历排程
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### 5.1 目标
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将 $\{k_i\}_{i=1}^{70}$ 转化为365天日历，满足每日2站点约束，并最小化访问间隔的不均匀性。
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### 5.2 算法：贪心装箱 + 局部优化
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1. **生成理想日期**：$t_{i,j}^* = \text{round}\left(\frac{(j + 0.5) \cdot 365}{k_i}\right)$
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2. **贪心分配**：按理想日期排序，就近分配到可用槽位
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3. **局部优化**：随机交换站点，若改善间隔方差则接受
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### 5.3 实际排程结果
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**验证**：
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- 已分配访问事件：730 / 730 ✓
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- 日历统计：365天满载 + 0天部分 + 0天空闲 ✓
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- 局部优化：5000次迭代，接受33次改进
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**间隔统计**：
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| 指标 | 值 |
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|------|-----|
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| 平均间隔均值 | 55.4 天 |
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| 平均间隔标准差 | 3.2 天 |
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| 最大单次间隔 | 179 天 |
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| 平均间隔CV | 0.103 |
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**日历预览（前10天）**：
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| 日期 | 站点1 | 站点2 |
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| 1 | MFP Avoca | MFP Waverly |
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| 2 | MFP Van Etten | MFP Endwell United Methodist |
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| 3 | MFP Bath | MFP Richford |
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| 4 | MFP College Corning | MFP College TC3 |
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| 5 | MFP Rehoboth Deliverance | MFP Rathbone |
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| 6 | MFP Waverly | MFP Redeemer Lutheran |
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| 7 | MFP The Love Church | MFP Lindley |
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| 8 | MFP Tuscarora | MFP Woodhull |
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| 9 | MFP Endwell United Methodist | MFP Richford |
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| 10 | MFP Bath | MFP College Corning |
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## 6. 可复现流水线
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### 6.1 脚本结构
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task1/
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├── 01_clean.py # 数据清洗与标准化
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├── 02_demand_correction.py # 截断回归修正
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├── 03_allocate.py # Hamilton频次分配
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├── 04_evaluate.py # 评估指标计算
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├── 05_schedule.py # 日历排程生成
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├── 01_clean.xlsx # Step 1 输出
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├── 02_demand.xlsx # Step 2 输出
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├── 03_allocate.xlsx # Step 3 输出
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├── 04_metrics.xlsx # Step 4 输出
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└── 05_schedule.xlsx # Step 5 输出
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```
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### 6.2 运行方法
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```bash
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# 从项目根目录依次运行
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python task1/01_clean.py
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python task1/02_demand_correction.py
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python task1/03_allocate.py
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python task1/04_evaluate.py
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python task1/05_schedule.py
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```
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### 6.3 关键参数
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| 参数 | 值 | 位置 |
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| 有效容量上限 $C$ | 400 | `02_demand_correction.py` |
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| 截断概率阈值 | 0.02 | `02_demand_correction.py` |
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| 质量折扣阈值 $\bar{C}$ | 250 | `04_evaluate.py` |
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| 年度总访问次数 $N$ | 730 | `03_allocate.py` |
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| 全年天数 $T$ | 365 | `05_schedule.py` |
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### 6.4 输出文件说明
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| 文件 | 内容 |
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| `01_clean.xlsx` | 标准化数据：site_id, site_name, lat, lon, visits_2019, mu, sigma |
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| `02_demand.xlsx` | 需求修正：+ mu_tilde, p_trunc, is_corrected |
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| `03_allocate.xlsx` | 频次分配：+ k, annual_service, r |
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| `04_metrics.xlsx` | 评估指标：metrics_summary, site_details, parameters |
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| `05_schedule.xlsx` | 日历排程：calendar, site_dates, gap_statistics, parameters |
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## 7. 敏感性分析
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### 7.1 参数范围
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| 参数 | 符号 | 基准值 | 敏感性范围 |
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|------|------|--------|-----------|
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| 有效容量 | $C$ | 400 | {350, 400, 450} |
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| 截断概率阈值 | $p^{trunc}$ | 0.02 | {0.01, 0.02, 0.05, 0.10} |
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| 典型服务量 | $\bar{C}$ | 250 | {200, 250, 300} |
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### 7.2 阈值敏感性
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| 阈值 | 被修正站点数 | $\sum \tilde{\mu}$ 增幅 |
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|------|-------------|----------------------|
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| 0.01 | 7 | +1.2% |
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| 0.02 | 5 | +0.98% |
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| 0.05 | 2 | +0.82% |
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| 0.10 | 1 | +0.76% |
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## 8. 假设与局限性
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### 8.1 显式假设
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| 编号 | 假设 | 依据 |
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| A1 | 真实需求服从正态分布 | 中心极限定理 |
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| A2 | 有效容量 $C=400$ | 基于 $\mu_{max}=396.6$ |
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| A3 | 2021年需求结构与2019年相似 | 题面要求使用2019数据 |
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| A4 | 全年365天均可运营 | 简化假设 |
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| A5 | 每日2站点为硬约束 | 题面"2 trucks" |
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### 8.2 局限性
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1. **截断修正的简化**：采用线性近似而非完整截断正态MLE
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2. **需求外生性**：未建模"访问频次影响需求"的内生效应
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3. **空间相关性**：未考虑相邻站点需求的空间自相关
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4. **季节性**：未考虑需求的季节波动（如冬季低需求）
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## 9. 结论与建议
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### 9.1 方法论贡献
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1. **识别截断偏误**：通过数据分析发现高需求站点的 $\mu$ 被容量截断，提出截断回归修正
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2. **质量-数量权衡**：引入质量折扣因子 $q(\mu)$，避免简单最大化服务人次
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3. **满足率公平**：以需求满足率而非访问次数衡量公平
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### 9.2 对FBST的建议
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1. **高需求站点**：MFP Waverly ($k=32$) 需求远超其他站点，建议考虑增派车辆或设立分站
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2. **数据收集**：建议记录"被拒绝服务的客户数"以更准确估计真实需求
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3. **动态调整**：建议季度末根据实际服务数据调整下季度排程
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### 9.3 有效性-公平性权衡
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推荐方案在有效性（总服务量）上显著优于基线，但公平性较差。若FBST更重视公平性，可考虑：
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- 混合方案：在推荐方案基础上，对低频站点适当增加访问
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- Pareto优化：在有效性-公平性前沿上选择平衡点
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### 9.4 后续研究方向
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- **Task 2**：考虑天气对需求的影响，建立动态调度模型
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- **Task 3**：双站点同车访问的最优分配策略
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