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# Task 1: 2021年MFP访问计划——需求驱动的频次分配与日历排程
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## 摘要
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本文提出一套**因果逻辑清晰、闭环可审计**的2021年MFP访问频次分配与日历排程方案。核心创新点：
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1. **截断回归修正**：识别到9个站点历史服务量 $\mu_i > 250$（最高396.6），说明高需求站点的观测数据被容量截断，采用截断正态模型恢复真实需求 $\tilde{\mu}_i$
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2. **质量加权有效性**：考虑高服务量下每户分配食物减少的质量折扣
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3. **满足率公平性**：以"年度服务量/真实需求"的均等程度衡量公平，而非简单的访问次数均等
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方案遵循四阶段结构：需求估计 → 频次分配 → 效果评估 → 日历排程。
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## 整体流程图
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### Mermaid版本（GitHub可渲染）
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```mermaid
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flowchart TB
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subgraph INPUT["数据输入"]
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A[data.xlsx<br/>70站点数据]
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end
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subgraph TASK1["TASK 1: 基础排程"]
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direction TB
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subgraph CORE["核心流程 ✅ 已完成"]
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B1[01_clean.py<br/>数据清洗]
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B2[02_demand_correction.py<br/>截断回归修正]
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B3[03_allocate.py<br/>Hamilton分配]
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B4[04_evaluate.py<br/>指标计算]
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B5[05_schedule.py<br/>日历排程]
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B1 --> B2 --> B3 --> B4
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B3 --> B5
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end
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subgraph VALIDATE["结果验证 ⏳ 待完成"]
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V1[06_validate.py<br/>约束检验]
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V2[07_backtest.py<br/>历史回测]
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end
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subgraph SENSITIVITY["敏感性分析 ⏳ 待完成"]
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S1[08_sensitivity.py<br/>参数扫描]
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end
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subgraph VISUAL["可视化 ⏳ 待完成"]
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P1[09_visualize.py<br/>图表生成]
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end
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CORE --> VALIDATE
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CORE --> SENSITIVITY
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VALIDATE --> VISUAL
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SENSITIVITY --> VISUAL
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end
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subgraph TASK2["TASK 2: 天气响应 ⏳"]
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C1[2a或2b方案]
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end
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subgraph TASK3["TASK 3: 双站点同车 ⏳"]
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D1[共生站点优化]
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end
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subgraph TASK4["TASK 4: Executive Summary ⏳"]
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E1[1页执行摘要]
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end
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A --> B1
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VISUAL --> TASK2
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VISUAL --> TASK3
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TASK2 --> TASK4
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TASK3 --> TASK4
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style CORE fill:#90EE90
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style VALIDATE fill:#FFE4B5
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style SENSITIVITY fill:#FFE4B5
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style VISUAL fill:#FFE4B5
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```
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### ASCII版本（详细）
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```
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
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│ TASK 1 完整流程 │
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├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
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│ │
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│ ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │
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│ │ 核心流程 [已完成 ✓] │ │
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│ │ │ │
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│ │ data.xlsx ──▶ 01_clean ──▶ 02_demand ──▶ 03_allocate ──▶ 04_evaluate │ │
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│ │ correction │ │ │
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│ │ ▼ │ │
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│ │ 05_schedule │ │
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│ └─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘ │
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│ │ │ │
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│ ┌─────────────┴────────────┬───────────┴───────────┐ │
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│ ▼ ▼ ▼ │
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│ ┌──────────────────────┐ ┌──────────────────────┐ ┌──────────────────────┐ │
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│ │ 结果验证 [待完成 ⏳] │ │ 敏感性分析 [待完成 ⏳] │ │ 可视化 [待完成 ⏳] │ │
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│ │ │ │ │ │ │ │
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│ │ 06_validate.py │ │ 08_sensitivity.py │ │ 09_visualize.py │ │
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│ │ ┌──────────────────┐ │ │ ┌──────────────────┐ │ │ ┌──────────────────┐ │ │
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│ │ │• 约束满足检验 │ │ │ │• C ∈ {350,400,450}│ │ │ │• 站点地图(需求) │ │ │
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│ │ │ - Σk=730? │ │ │ │• p阈值扫描 │ │ │ │• k分布直方图 │ │ │
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│ │ │ - k≥1? │ │ │ │• C̄ ∈ {200,250,300}│ │ │ │• E-F权衡曲线 │ │ │
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│ │ │ - 每日2站点? │ │ │ │ │ │ │ │• 日历热力图 │ │ │
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│ │ └──────────────────┘ │ │ └──────────────────┘ │ │ │• 间隔分布箱线图 │ │ │
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│ │ │ │ │ │ └──────────────────┘ │ │
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│ │ 07_backtest.py │ │ 输出: │ │ │ │
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│ │ ┌──────────────────┐ │ │ • 参数-指标表 │ │ 输出: │ │
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│ │ │• 2019数据回测 │ │ │ • Pareto前沿图 │ │ • figures/*.png │ │
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│ │ │• 预测vs实际对比 │ │ │ │ │ • 论文插图 │ │
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│ │ │• 残差分析 │ │ │ │ │ │ │
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│ │ └──────────────────┘ │ │ │ │ │ │
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│ └──────────────────────┘ └──────────────────────┘ └──────────────────────┘ │
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│ │ │
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└────────────────────────────────────────┼───────────────────────────────────────────────┘
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│
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▼
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┌────────────────────┴────────────────────┐
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│ │
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▼ ▼
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┌──────────────────────────┐ ┌──────────────────────────┐
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│ TASK 2: 天气响应 [待完成] │ │ TASK 3: 双站点 [待完成] │
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└──────────────────────────┘ └──────────────────────────┘
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│ │
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└────────────────┬────────────────────────┘
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▼
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┌──────────────────────────┐
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│ TASK 4: 执行摘要 [待完成] │
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└──────────────────────────┘
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```
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### 当前进度与待完成事项
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| 模块 | 状态 | 脚本 | 说明 |
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|------|------|------|------|
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| 数据清洗 | ✅ 完成 | `01_clean.py` | 字段标准化 |
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| 需求修正 | ✅ 完成 | `02_demand_correction.py` | 截断回归 |
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| 频次分配 | ✅ 完成 | `03_allocate.py` | Hamilton方法 |
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| 指标计算 | ✅ 完成 | `04_evaluate.py` | E1,E2,F1,F2 |
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| 日历排程 | ✅ 完成 | `05_schedule.py` | 贪心+局部优化 |
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| **约束验证** | ⏳ 待完成 | `06_validate.py` | 硬约束检验 |
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| **历史回测** | ⏳ 待完成 | `07_backtest.py` | 模型有效性 |
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| **敏感性分析** | ⏳ 待完成 | `08_sensitivity.py` | 参数稳健性 |
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| **可视化** | ⏳ 待完成 | `09_visualize.py` | 论文图表 |
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## 运行结果摘要
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| 指标 | 推荐方案 | 均匀分配 | 2019缩放 | 变化 |
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|------|---------|---------|---------|------|
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| E1 (总服务量) | **140,121** | 104,797 | 104,071 | +34.6% |
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| E2 (质量加权) | **131,673** | 101,309 | 100,264 | +31.3% |
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| F1 (Gini系数) | 0.314 | **0.026** | 0.092 | 公平性降低 |
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| F2 (最低满足率) | 2.0 | **8.4** | 5.0 | - |
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**核心发现**：按需求比例分配可提升34.6%的总服务量，但存在有效性-公平性权衡。
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## 1. 问题形式化
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### 1.1 输入数据
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| 字段 | 符号 | 说明 |
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| 位置 | $(lat_i, lon_i)$ | 经纬度坐标 |
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| 2019年访问次数 | $v_i$ | 历史频次，总计722次 |
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| 单次服务人数均值 | $\mu_i$ | 观测均值，范围[17.2, 396.6] |
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| 单次服务人数标准差 | $\sigma_i$ | 观测波动，范围[2.2, 93.5] |
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### 1.2 运营参数
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| 参数 | 值 | 来源 |
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|------|-----|------|
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| 卡车物理运力 | 15,000 lbs | 题面明确 |
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| 典型服务户数 | [200, 250] | 题面"typical" |
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| 每日可派车次 | 2 | 题面 |
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| 年度总访问次数 $N$ | 730 | $365 \times 2$ |
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### 1.3 硬约束
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$$\sum_{i=1}^{70} k_i = 730 \tag{C1: 资源约束}$$
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$$k_i \geq 1 \tag{C2: 覆盖约束}$$
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$$|\text{sites on day } t| = 2 \tag{C3: 每日容量}$$
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## 2. 阶段一：真实需求估计（截断回归）
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### 2.1 问题本质：为什么需要修正？
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**底层逻辑**：
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题面说"typical visit serves 200-250 families"，但数据中 $\mu_{max} = 396.6$。这说明：
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1. **200-250不是硬上限**：高需求站点可以服务更多家庭
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2. **存在隐性容量约束**：卡车运力15000磅 ÷ 每户约38-75磅 ≈ 200-400户
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3. **观测被截断**：当真实需求 > 容量时，只能观测到容量值
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```
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真实需求分布: 观测到的分布:
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│ │
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│ ╱╲ │ ╱╲
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│ ╱ ╲ │ ╱ ╲▓▓▓ ← 被截断部分
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│ ╱ ╲ │ ╱ │
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│ ╱ ╲ │ ╱ │
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├───────────── ├───────┤
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0 μ̃ C 0 μ C
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```
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**因此**：直接用 $\mu_i$ 会**系统性低估**高需求站点的真实需求。
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### 2.2 截断概率的推导
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**假设**：真实需求 $\tilde{D}_i \sim \mathcal{N}(\tilde{\mu}_i, \sigma_i^2)$
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**推导**：截断概率 = 真实需求超过容量C的概率
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$$p_i^{trunc} = P(\tilde{D}_i > C) = P\left(Z > \frac{C - \tilde{\mu}_i}{\sigma_i}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{C - \tilde{\mu}_i}{\sigma_i}\right)$$
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**近似**：由于我们不知道 $\tilde{\mu}_i$，用观测值 $\mu_i$ 近似：
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$$p_i^{trunc} \approx 1 - \Phi\left(\frac{C - \mu_i}{\sigma_i}\right)$$
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**物理意义**：$p_i^{trunc}$ 越大，说明该站点越可能被截断，需要更大的修正。
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### 2.3 修正公式的推导
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**截断正态的条件期望**（Mills ratio）：
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对于 $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$，有：
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$$E[X | X > c] = \mu + \sigma \cdot \frac{\phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right)}{1 - \Phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right)}$$
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**简化近似**：
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当截断概率 $p^{trunc}$ 较小时，修正量近似与 $p^{trunc}$ 线性相关：
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$$\tilde{\mu}_i \approx \mu_i \cdot (1 + \alpha \cdot p_i^{trunc})$$
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取 $\alpha = 0.4$（经验系数，可通过敏感性分析调整）。
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**分段处理的原因**：
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- 当 $p^{trunc} < 0.02$：截断概率很低，修正量可忽略
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- 当 $p^{trunc} \geq 0.02$：存在显著截断，需要修正
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### 2.4 实际修正结果
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| site_id | 站点名称 | $\mu$ | $\sigma$ | $p^{trunc}$ | $\tilde{\mu}$ | 修正幅度 |
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|---------|---------|-------|----------|-------------|---------------|----------|
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| 66 | MFP Waverly | 396.6 | 51.9 | 0.474 | 471.9 | +19.0% |
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| 2 | MFP Avoca | 314.6 | 57.3 | 0.068 | 323.2 | +2.7% |
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| 13 | MFP College TC3 | 261.5 | 92.0 | 0.066 | 268.4 | +2.6% |
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| 17 | MFP Endwell | 285.2 | 60.8 | 0.030 | 288.6 | +1.2% |
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| 30 | MFP Redeemer | 230.6 | 93.5 | 0.035 | 233.8 | +1.4% |
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## 3. 阶段二：频次分配模型
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### 3.1 分配原则的底层逻辑
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**题面要求**："frequency informed by total demand in surrounding communities"
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**问题**：什么是"周边社区需求"？
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**两种理解**：
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1. ❌ 用空间核平滑估计（循环论证：用供给估计需求）
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2. ✅ 每个站点本身就服务其周边社区，$\tilde{\mu}_i$ 就是需求代理
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**我们的选择**：直接用修正后的 $\tilde{\mu}_i$ 作为"周边社区需求"的代理。
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**为什么按比例分配？**
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假设目标是**最大化总服务量**且**保证公平**：
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- 最大化 $\sum k_i \mu_i$ subject to $\sum k_i = N$
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- 拉格朗日条件：$\frac{\partial}{\partial k_i}(k_i \mu_i - \lambda k_i) = \mu_i - \lambda = 0$
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这说明最优解是 $k_i \propto \mu_i$（或 $\tilde{\mu}_i$）。
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### 3.2 为什么用Hamilton方法？
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**问题**：按比例分配得到的是实数，需要转换为整数。
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**Hamilton方法（最大余数法）的优点**：
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1. **保证总和**：$\sum k_i = N$ 严格成立
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2. **公平性**：余数大的站点优先获得额外1次
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3. **可解释**：政治选举中广泛使用，逻辑透明
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**替代方法对比**：
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| 方法 | 优点 | 缺点 |
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|------|------|------|
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| 四舍五入 | 简单 | 总和可能不等于N |
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| 向下取整+贪心 | 简单 | 可能不公平 |
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| Hamilton | 公平、总和准确 | 稍复杂 |
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| 整数规划 | 可加约束 | 过于复杂 |
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### 3.3 分配结果验证
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- 总访问次数：$\sum k_i = 730$ ✓
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- 访问次数范围：$[2, 32]$
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- 覆盖约束：$\min k_i = 2 \geq 1$ ✓
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## 4. 阶段三：效果评估指标
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### 4.1 有效性指标的设计逻辑
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**E1：原始总服务量**
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$$E_1 = \sum_{i=1}^{70} k_i \cdot \mu_i$$
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**问题**：E1假设服务量与访问次数线性增长，但忽略了**质量下降**。
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**E2：质量加权服务量**
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**底层逻辑**：当 $\mu_i > 250$ 时，每户获得的食物量下降。
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$$\text{每户食物量} = \frac{15000 \text{ lbs}}{\mu_i}$$
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当 $\mu_i = 250$ 时，每户60磅（典型值）。
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当 $\mu_i = 400$ 时，每户37.5磅（低于典型）。
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**质量折扣因子**：
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$$q(\mu) = \min\left(1, \frac{250}{\mu}\right) = \begin{cases} 1 & \mu \leq 250 \\ \frac{250}{\mu} & \mu > 250 \end{cases}$$
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**物理意义**：$q(\mu)$ 表示"相对于典型服务质量的比例"。
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### 4.2 公平性指标的设计逻辑
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**为什么不用"访问次数相等"衡量公平？**
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题面说"are some served much better than others"——关键词是**served**，不是**visited**。
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需求100的站点访问10次 vs 需求200的站点访问10次 → 后者服务不足。
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**满足率的定义**：
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$$r_i = \frac{\text{年度服务量}}{\text{年度需求}} = \frac{k_i \cdot \mu_i}{\tilde{\mu}_i}$$
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**为什么用Gini系数？**
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- Gini系数是衡量分布不均等的标准指标
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- 取值[0,1]，0表示完全均等，1表示完全不均等
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- 易于解释：收入分配、资源分配广泛使用
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### 4.3 评估结果
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| 方案 | E1 | E2 | F1 (Gini) | F2 (min r) |
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|------|-----|-----|-----------|------------|
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| **推荐方案** | **140,121** | **131,673** | 0.314 | 2.00 |
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| 均匀分配 | 104,797 | 101,309 | **0.026** | **8.41** |
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| 2019缩放 | 104,071 | 100,264 | 0.092 | 5.00 |
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**有效性-公平性权衡**：
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```
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F1 (Gini, 越小越公平)
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▲
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0.4 │ ● 推荐方案 (E1=140k)
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│
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0.3 │
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│
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0.2 │
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│
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0.1 │ ● 2019缩放 (E1=104k)
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│
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0.0 │● 均匀分配 (E1=105k)
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||
└────────────────────────────▶ E1 (总服务量)
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100k 120k 140k
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```
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## 5. 阶段四：日历排程
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### 5.1 排程目标的底层逻辑
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**为什么要均匀分布访问日期？**
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题面说"schedule published months in advance to help clients plan"。
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如果某站点访问间隔不均匀（如：1月5次，2月0次），客户难以规划。
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**理想间隔**：
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$$\Delta_i^* = \frac{365}{k_i}$$
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例如：$k_i = 12$ 次/年 → 理想间隔 ≈ 30天/次
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### 5.2 贪心算法的设计逻辑
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**为什么不用整数规划？**
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730个访问事件 × 365天 = 26万个0-1变量，计算复杂度过高。
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**贪心策略**：
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1. 为每个访问事件计算"理想日期"
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2. 按理想日期排序
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3. 依次分配到最近的可用槽位
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**为什么有效？**
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- 理想日期已经考虑了均匀分布
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- 按顺序分配避免了冲突
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- 局部优化可进一步改善
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### 5.3 排程结果
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- 365天全部满载 ✓
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- 平均间隔：55.4天
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- 最大间隔：179天（低频站点）
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## 6. 待完成：结果验证
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### 6.1 约束满足检验 (`06_validate.py`)
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| 检验项 | 公式 | 预期结果 |
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|--------|------|---------|
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| 资源约束 | $\sum k_i = 730$ | 通过 |
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| 覆盖约束 | $\min k_i \geq 1$ | 通过 |
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| 日容量约束 | 每日恰好2站点 | 通过 |
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| 无重复约束 | 同一天不重复访问同一站点 | 通过 |
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### 6.2 模型有效性验证 (`07_backtest.py`)
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**方法**：留一交叉验证（Leave-One-Out）
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1. 用2019年的69个站点数据训练模型
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2. 预测第70个站点的 $\tilde{\mu}$ 和 $k$
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3. 与实际值对比
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4. 重复70次，计算平均误差
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**评估指标**：
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- MAPE（平均绝对百分比误差）
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- $R^2$（决定系数）
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## 7. 待完成：敏感性分析
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### 7.1 参数扫描 (`08_sensitivity.py`)
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| 参数 | 基准值 | 扫描范围 | 影响 |
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|------|--------|---------|------|
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| 有效容量 $C$ | 400 | [350, 450] | 截断修正强度 |
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| 截断阈值 $p^{trunc}$ | 0.02 | [0.01, 0.10] | 修正站点数 |
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| 质量阈值 $\bar{C}$ | 250 | [200, 300] | E2计算 |
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### 7.2 敏感性报告格式
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```
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C = 350: 修正7站点, E1=141,234, F1=0.318
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C = 400: 修正5站点, E1=140,121, F1=0.314 ← 基准
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C = 450: 修正3站点, E1=139,456, F1=0.310
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```
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## 8. 待完成：可视化
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### 8.1 图表清单 (`09_visualize.py`)
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| 图编号 | 图名 | 类型 | 用途 |
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|--------|------|------|------|
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| Fig.1 | 站点地图 | 散点图+地图底图 | 展示站点分布和需求 |
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| Fig.2 | 需求修正对比 | 柱状图 | 展示修正前后μ变化 |
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| Fig.3 | 频次分配分布 | 直方图 | 展示k的分布 |
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| Fig.4 | 有效性-公平性权衡 | 散点图 | Pareto前沿 |
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| Fig.5 | 日历热力图 | 热力图 | 全年排程概览 |
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| Fig.6 | 访问间隔箱线图 | 箱线图 | 间隔分布 |
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| Fig.7 | 敏感性分析 | 折线图 | 参数影响 |
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### 8.2 图表示例说明
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**Fig.1 站点地图**：
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- X轴：经度
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- Y轴：纬度
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- 点大小：$\mu_i$（需求）
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- 点颜色：$k_i$（访问频次）
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**Fig.4 有效性-公平性权衡**：
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- X轴：E2（质量加权服务量）
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- Y轴：F1（Gini系数，越小越公平）
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- 多个方案的散点
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- Pareto前沿曲线
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**Fig.5 日历热力图**：
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- X轴：月份(1-12)
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- Y轴：日期(1-31)
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- 颜色：该日访问的站点需求总和
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## 9. 可复现流水线
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### 9.1 完整脚本结构
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```
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task1/
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├── 01_clean.py ✅ 数据清洗
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├── 02_demand_correction.py ✅ 截断修正
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├── 03_allocate.py ✅ 频次分配
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├── 04_evaluate.py ✅ 指标计算
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├── 05_schedule.py ✅ 日历排程
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├── 06_validate.py ⏳ 约束验证
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├── 07_backtest.py ⏳ 历史回测
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├── 08_sensitivity.py ⏳ 敏感性分析
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├── 09_visualize.py ⏳ 可视化
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├── 01_clean.xlsx
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├── 02_demand.xlsx
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├── 03_allocate.xlsx
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├── 04_metrics.xlsx
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├── 05_schedule.xlsx
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└── figures/ ⏳ 图表输出目录
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```
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### 9.2 运行命令
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```bash
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# 核心流程（已完成）
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python task1/01_clean.py
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python task1/02_demand_correction.py
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python task1/03_allocate.py
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python task1/04_evaluate.py
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python task1/05_schedule.py
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||
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||
# 验证与分析（待完成）
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python task1/06_validate.py
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python task1/07_backtest.py
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python task1/08_sensitivity.py
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||
python task1/09_visualize.py
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```
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## 10. 假设与局限性
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### 10.1 显式假设
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| 编号 | 假设 | 依据 | 影响 |
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|------|------|------|------|
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| A1 | 真实需求服从正态分布 | 中心极限定理 | 截断修正公式 |
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| A2 | 有效容量 $C=400$ | $\mu_{max}=396.6$ | 修正强度 |
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| A3 | 2021年需求≈2019年 | 题面要求 | 整体方案有效性 |
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| A4 | 全年365天运营 | 简化假设 | 总访问次数 |
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| A5 | 每日2站点硬约束 | 题面 | 排程可行性 |
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### 10.2 局限性
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1. **截断修正简化**：使用线性近似而非完整MLE
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2. **需求外生性**：未建模"访问频次→需求"的反馈效应
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3. **空间相关性**：未考虑相邻站点需求相关性
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4. **季节性**：未考虑冬季需求下降
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## 11. 结论与建议
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### 11.1 方法论贡献
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1. **截断偏误识别**：发现高需求站点 $\mu$ 被低估
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2. **质量-数量权衡**：引入质量折扣因子
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3. **满足率公平**：以服务充足度衡量公平
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### 11.2 对FBST的运营建议
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1. **MFP Waverly**：需求异常高（$k=32$），建议增派资源
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2. **数据收集**：记录"被拒服务人数"以更准确估计需求
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3. **动态调整**：季度末复盘，调整下季度排程
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### 11.3 有效性-公平性权衡
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推荐方案牺牲公平性换取服务量最大化。若FBST优先考虑公平：
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- 可设置 $k_i$ 上下限约束
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- 或使用混合目标函数 $\max (E_2 - \lambda \cdot F_1)$
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