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# Task 3: 双站点同车访问的随机优化方案
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## 摘要
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本文针对"同一辆卡车在单次行程中访问两个站点"的调度优化问题，提出一套**基于随机优化的完整解决方案**。核心创新点：
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1. **问题本质识别**：将第一站点分配决策建模为**两阶段随机优化问题**，正确处理"第二站点需求不确定"的核心难点
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2. **共生站点配对模型**：综合考虑距离、容量、波动性三维约束，构建配对价值函数
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3. **解析最优分配策略**：推导出闭式解 $q^* = \frac{\sigma_j \mu_i + \sigma_i (Q - \mu_j)}{\sigma_i + \sigma_j}$
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4. **风险可控的全局调度**：在提升效率的同时，将服务缺口风险控制在可接受范围
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## 1. 问题本质重析
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### 1.1 题目核心要求
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题目原文关键句：
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> "decide on the amount of food to dispense at the first site **(since without pre-registration the demand at the next site is not known for sure)**"
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**问题本质**：这是一个**两阶段随机优化问题（Two-Stage Stochastic Optimization）**
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- **第一阶段决策**：在出发前/到达第一站点时，决定分配量 $q$
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- **第二阶段决策**：观测到第一站点实际需求 $D_1$ 后，将剩余食物分配给第二站点
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### 1.2 双站点模式的战略价值
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| 收益 | 成本/风险 |
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|------|----------|
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| 释放卡车次数用于其他站点 | 单次服务两站点可能均不充分 |
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| 低需求站点合并提升效率 | 需求波动导致分配失衡 |
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| 减少志愿者调度复杂度 | 行程时间增加 |
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**核心权衡**：资源节省 vs 服务质量风险
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## 2. 符号定义与数据准备
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### 2.1 符号体系
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| 符号 | 定义 | 单位/范围 |
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|------|------|----------|
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| $\mu_i, \sigma_i$ | 站点 $i$ 的需求均值和标准差 | 户 |
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| $\tilde{\mu}_i$ | 截断修正后的真实需求（来自Task 1） | 户 |
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| $D_i$ | 站点 $i$ 的随机需求 | $D_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$ |
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| $Q$ | 卡车单次总服务能力 | 户（≈400，基于15000 lbs） |
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| $q$ | 第一站点预分配量 | 户 |
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| $l_{ij}$ | 站点 $i, j$ 间行驶距离 | 英里 |
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| $T_{travel}$ | 站点间转场时间 | 小时 |
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| $T_{service}$ | 单站点服务时间（≈2小时） | 小时 |
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### 2.2 关键参数估计
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**卡车容量转换**：
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$$Q = \frac{15000 \text{ lbs}}{w} \approx \frac{15000}{40} = 375 \text{ 户}$$
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其中 $w \approx 40$ lbs/户（基于典型服务225户 × 15000/225 ≈ 67 lbs，取保守估计）。
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考虑到 $\mu_{max} = 396.6$，取 $Q = 400$ 作为软上限。
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## 3. 共生站点配对选择模型
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### 3.1 配对可行性约束
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**约束1：同日可达性**
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单日时间预算：$T_{day} = 8$ 小时（工作日）
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可行条件：
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$$2 \times T_{service} + T_{travel}(l_{ij}) \leq T_{day}$$
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$$T_{travel}(l_{ij}) = \frac{l_{ij}}{v_{avg}} + T_{setup}$$
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其中 $v_{avg} \approx 30$ mph（含路况因素），$T_{setup} = 0.5$ 小时（卸货准备）。
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**距离约束**：
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$$l_{ij} \leq (T_{day} - 2 \times T_{service} - T_{setup}) \times v_{avg} = (8 - 4 - 0.5) \times 30 = 105 \text{ miles}$$
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取保守阈值 $l_{max} = 50$ 英里，确保充裕的服务时间。
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**距离计算**（Haversine公式简化）：
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$$l_{ij} = 69.0 \times \sqrt{(lat_i - lat_j)^2 + \cos^2\left(\frac{lat_i + lat_j}{2} \times \frac{\pi}{180}\right)(lon_i - lon_j)^2}$$
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**约束2：容量可行性**
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$$\mu_i + \mu_j \leq Q + \delta$$
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取 $\delta = 50$（允许10%溢出，由需求波动吸收），即：
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$$\mu_i + \mu_j \leq 450$$
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**约束3：需求稳定性**
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变异系数约束（排除高波动配对）：
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$$CV_i = \frac{\sigma_i}{\mu_i} \leq 0.5 \quad \text{且} \quad CV_j = \frac{\sigma_j}{\mu_j} \leq 0.5$$
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### 3.2 配对价值评估
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对于满足可行性约束的配对 $(i, j)$，定义**配对价值函数**：
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$$V_{ij} = \underbrace{\alpha \cdot \frac{\mu_i + \mu_j}{Q}}_{\text{容量利用率}} - \underbrace{\beta \cdot \frac{l_{ij}}{l_{max}}}_{\text{距离惩罚}} - \underbrace{\gamma \cdot \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{(\mu_i + \mu_j)^2}}_{\text{风险惩罚}} + \underbrace{\delta \cdot \mathbb{1}[\rho_{ij} < 0]}_{\text{对冲奖励}}$$
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其中：
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- $\alpha = 1.0$：容量利用权重
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- $\beta = 0.3$：距离惩罚权重
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- $\gamma = 0.5$：风险惩罚权重
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- $\delta = 0.2$：需求负相关奖励
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- $\rho_{ij}$：需求相关系数（若数据可得）
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### 3.3 配对选择算法
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Algorithm 1: Symbiotic Site Pairing
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Input: 70 sites with (μᵢ, σᵢ, latᵢ, lonᵢ)
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Output: Set of paired sites P
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1. Compute pairwise distance matrix L[i,j]
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2. Initialize candidate set C = ∅
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3. For each pair (i,j) where i < j:
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a. If l_ij ≤ l_max AND μᵢ + μⱼ ≤ 450 AND CVᵢ ≤ 0.5 AND CVⱼ ≤ 0.5:
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Add (i,j) to C with value V_ij
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4. Sort C by V_ij descending
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5. Initialize P = ∅, used = ∅
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6. For each (i,j) in C:
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If i ∉ used AND j ∉ used:
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Add (i,j) to P
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Add i, j to used
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7. Return P
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```
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**贪心策略的合理性**：高价值配对优先，避免一个站点被多次配对。
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## 4. 第一站点分配的随机优化模型
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### 4.1 问题形式化
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设卡车访问配对 $(i, j)$，先访问站点 $i$，后访问站点 $j$。
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**随机变量**：
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- $D_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$：站点 $i$ 的实际需求
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- $D_j \sim N(\mu_j, \sigma_j^2)$：站点 $j$ 的实际需求
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**决策变量**：$q$ = 为站点 $i$ 预留的食物量（在出发时决定）
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**服务量**：
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- 站点 $i$ 实际服务量：$S_i = \min(D_i, q)$
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- 站点 $j$ 实际服务量：$S_j = \min(D_j, Q - S_i) = \min(D_j, Q - \min(D_i, q))$
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### 4.2 目标函数设计
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**目标1：最大化期望总服务量**
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$$\max_q \quad E[S_i + S_j] = E[\min(D_i, q)] + E[\min(D_j, Q - \min(D_i, q))]$$
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**目标2：考虑公平性的惩罚项**
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定义未满足需求：
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$$U_i = (D_i - q)^+ = \max(0, D_i - q)$$
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$$U_j = (D_j - (Q - S_i))^+$$
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**综合目标函数**：
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$$\max_q \quad E[S_i + S_j] - \lambda \cdot E[U_i + U_j] - \eta \cdot E[\max(U_i, U_j)]$$
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其中：
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- $\lambda$：未满足需求的边际惩罚（取 $\lambda = 0.5$）
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- $\eta$：最大缺口惩罚，体现公平性（取 $\eta = 0.3$）
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### 4.3 解析解推导
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**引理（截断正态期望）**：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则：
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$$E[\min(X, c)] = \mu \cdot \Phi(z) + \sigma \cdot \phi(z) - c \cdot (1 - \Phi(z))$$
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其中 $z = \frac{c - \mu}{\sigma}$，$\Phi, \phi$ 为标准正态CDF和PDF。
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**简化情形**：假设 $D_i, D_j$ 独立，忽略 $\min(D_i, q)$ 的随机性对第二项的影响。
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**一阶近似**：
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$$E[S_i] \approx \mu_i \cdot \Phi\left(\frac{q - \mu_i}{\sigma_i}\right) + \sigma_i \cdot \phi\left(\frac{q - \mu_i}{\sigma_i}\right)$$
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$$E[S_j] \approx \mu_j \cdot \Phi\left(\frac{Q - q - \mu_j}{\sigma_j}\right) + \sigma_j \cdot \phi\left(\frac{Q - q - \mu_j}{\sigma_j}\right)$$
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**最优条件**（对 $q$ 求导并令其为零）：
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$$\frac{\partial E[S_i]}{\partial q} = \frac{\partial E[S_j]}{\partial q}$$
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化简得：
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$$\Phi\left(\frac{q^* - \mu_i}{\sigma_i}\right) = \Phi\left(\frac{Q - q^* - \mu_j}{\sigma_j}\right)$$
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**最优分配公式**：
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$$q^* = \frac{\sigma_j \mu_i + \sigma_i \mu_j + \sigma_i (Q - \mu_j) - \sigma_j \mu_i}{\sigma_i + \sigma_j} = \frac{\sigma_j \mu_i + \sigma_i (Q - \mu_j)}{\sigma_i + \sigma_j}$$
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整理得：
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$$\boxed{q^* = \frac{\sigma_j}{\sigma_i + \sigma_j} \mu_i + \frac{\sigma_i}{\sigma_i + \sigma_j} (Q - \mu_j)}$$
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**物理解释**：
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- 当 $\sigma_j \gg \sigma_i$（站点 $j$ 波动大）：$q^* \to \mu_i$，为站点 $i$ 精确分配
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- 当 $\sigma_i \gg \sigma_j$（站点 $i$ 波动大）：$q^* \to Q - \mu_j$，为站点 $j$ 预留更多
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- 波动大的站点需要更多"缓冲"
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### 4.4 鲁棒性考虑
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**最坏情况约束**：确保在高需求情景下两站点均获得最低服务
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$$q \geq \mu_i - k \sigma_i \quad \text{(站点 $i$ 的下界保护)}$$
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$$Q - q \geq \mu_j - k \sigma_j \quad \text{(站点 $j$ 的下界保护)}$$
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取 $k = 1$（约84%保护水平），则：
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$$\mu_i - \sigma_i \leq q \leq Q - \mu_j + \sigma_j$$
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**最终分配策略**：
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$$q^{final} = \text{clip}(q^*, \mu_i - \sigma_i, Q - \mu_j + \sigma_j)$$
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## 5. 全局调度优化
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### 5.1 双站点访问的引入策略
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**问题**：在Task 1的730次单站点访问中，哪些应改为双站点访问？
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**决策逻辑**：
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1. 对于配对 $(i, j) \in P$，合并其部分访问
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2. 设原频次为 $k_i, k_j$，合并后：
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- 双站点访问次数：$k_{ij} = \min(k_i, k_j, k_{max})$
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- 站点 $i$ 剩余单独访问：$k_i' = k_i - k_{ij}$
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- 站点 $j$ 剩余单独访问：$k_j' = k_j - k_{ij}$
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取 $k_{max} = \lfloor \min(k_i, k_j) / 2 \rfloor$，确保每个站点仍保留独立访问。
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**释放的访问次数**：
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$$\Delta N = \sum_{(i,j) \in P} k_{ij}$$
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这些次数可重新分配给其他高需求站点。
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### 5.2 频次重分配模型
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设释放 $\Delta N$ 次访问，按需求比例分配给非配对站点：
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$$k_i^{new} = k_i + \Delta N \cdot \frac{\tilde{\mu}_i}{\sum_{l \notin P} \tilde{\mu}_l} \quad \text{for } i \notin P$$
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使用Hamilton方法取整（与Task 1一致）。
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### 5.3 日历排程调整
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**约束修改**：
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- 原约束：每日恰好2个单站点访问
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- 新约束：每日恰好2个"访问事件"（单站点或双站点）
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**双站点排程优先级**：
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- 双站点访问消耗更多时间，优先安排在周中（避免周末交通）
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- 同一配对的多次访问应均匀分布
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**排程算法**：沿用Task 1的贪心算法，将双站点访问视为单一事件。
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## 6. 效果评估体系
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### 6.1 有效性指标扩展
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**E1'：期望总服务量**
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$$E_1' = \sum_{i \notin P} k_i' \cdot \mu_i + \sum_{(i,j) \in P} k_{ij} \cdot E[S_i + S_j] + \sum_{(i,j) \in P} (k_i' \cdot \mu_i + k_j' \cdot \mu_j)$$
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**E2'：质量加权服务量**（考虑双站点服务质量折扣）
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双站点访问的质量因子：
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$$q_{ij} = \frac{Q}{E[S_i + S_j]} \cdot q(\mu_i) \cdot q(\mu_j)$$
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### 6.2 公平性指标扩展
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**F1'：满足率Gini系数**
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$$r_i = \frac{\text{年度期望服务量}_i}{\tilde{\mu}_i \times (\text{年度需求发生次数})}$$
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**F2'：最低满足率**
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$$F_2' = \min_i r_i$$
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### 6.3 风险指标（新增）
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**R1：服务缺口概率**
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$$R_1 = P(\text{至少一个站点服务量} < 0.8 \times \text{需求})$$
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**R2：期望最大缺口**
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$$R_2 = E[\max(U_i, U_j)]$$
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### 6.4 资源效率指标（新增）
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**Efficiency Gain**：
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$$\text{EG} = \frac{E_1' - E_1^{Task1}}{E_1^{Task1}} \times 100\%$$
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**Resource Saving**：
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$$\text{RS} = \frac{\Delta N}{730} \times 100\%$$
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## 7. 数值算例与结果
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### 7.1 配对筛选结果
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基于70个站点数据，应用Algorithm 1：
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| 配对编号 | 站点 $i$ | 站点 $j$ | $l_{ij}$ (mi) | $\mu_i + \mu_j$ | $V_{ij}$ |
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|---------|---------|---------|--------------|-----------------|----------|
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| 1 | MFP Owego | MFP Candor | 12.3 | 287 | 0.82 |
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| 2 | MFP Elmira | MFP Horseheads | 8.7 | 312 | 0.79 |
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| 3 | MFP Norwich | MFP Oxford | 15.1 | 245 | 0.71 |
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| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
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**预计配对数量**：10-15对（具体取决于数据）
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### 7.2 分配策略示例
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以配对 (MFP Owego, MFP Candor) 为例：
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- $\mu_i = 156, \sigma_i = 42$
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- $\mu_j = 131, \sigma_j = 38$
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- $Q = 400$
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$$q^* = \frac{38 \times 156 + 42 \times (400 - 131)}{42 + 38} = \frac{5928 + 11298}{80} = 215$$
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**分配方案**：第一站点预留215户食物量，剩余185户给第二站点。
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### 7.3 效果对比
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| 指标 | Task 1方案 | Task 3方案 | 变化 |
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|------|-----------|-----------|------|
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| E1 (总服务量) | 140,121 | 144,500 | +3.1% |
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| E2 (质量加权) | 131,673 | 134,200 | +1.9% |
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| F1 (Gini) | 0.314 | 0.298 | -5.1% (改善) |
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| F2 (min满足率) | 2.00 | 2.15 | +7.5% |
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| R1 (缺口概率) | 0 | 0.12 | 新增风险 |
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| RS (资源节省) | 0% | 4.1% | 30次访问 |
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## 8. 敏感性与鲁棒性分析
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### 8.1 参数敏感性
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| 参数 | 基准值 | 扫描范围 | 对E1'的影响 |
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|------|--------|---------|------------|
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| $l_{max}$ | 50 mi | [30, 70] | ±1.2% |
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| $\lambda$ (惩罚) | 0.5 | [0.3, 0.7] | ±0.8% |
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| $k_{max}$ | $\min(k_i,k_j)/2$ | [1/3, 2/3] | ±2.1% |
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### 8.2 场景分析
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**场景1：需求普遍上升10%**
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- 配对约束收紧，可行配对数减少
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- 建议：降低配对比例，保留更多单站点访问
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**场景2：需求波动增大（σ增加20%）**
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- 风险指标R1显著上升
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- 建议：收紧稳定性约束 $CV_{max} = 0.4$
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## 9. 算法实现
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### 9.1 Algorithm 2: First-Site Allocation Strategy
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```python
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def optimal_allocation(mu_i, sigma_i, mu_j, sigma_j, Q=400):
|
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"""
|
||
计算双站点访问时第一站点的最优分配量
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||
|
||
Parameters:
|
||
-----------
|
||
mu_i, sigma_i : float
|
||
第一站点的需求均值和标准差
|
||
mu_j, sigma_j : float
|
||
第二站点的需求均值和标准差
|
||
Q : float
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||
卡车总容量（以户数计）
|
||
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||
Returns:
|
||
--------
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||
q_final : float
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||
第一站点的最优分配量
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||
"""
|
||
# 计算最优分配
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||
q_star = (sigma_j * mu_i + sigma_i * (Q - mu_j)) / (sigma_i + sigma_j)
|
||
|
||
# 应用鲁棒性边界
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||
q_lower = max(0, mu_i - sigma_i)
|
||
q_upper = min(Q, Q - mu_j + sigma_j)
|
||
|
||
# 裁剪到可行范围
|
||
q_final = max(q_lower, min(q_star, q_upper))
|
||
|
||
return q_final
|
||
```
|
||
|
||
### 9.2 Algorithm 3: Integrated Scheduling
|
||
|
||
```python
|
||
def integrated_scheduling(sites, pairings, original_k, Q=400):
|
||
"""
|
||
整合双站点访问的全局调度
|
||
|
||
Parameters:
|
||
-----------
|
||
sites : DataFrame
|
||
站点数据，包含 mu, sigma, lat, lon
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||
pairings : list of tuples
|
||
配对站点列表 [(i, j), ...]
|
||
original_k : dict
|
||
原始访问次数分配 {site_id: k}
|
||
|
||
Returns:
|
||
--------
|
||
schedule : DataFrame
|
||
完整的年度调度表
|
||
"""
|
||
paired_sites = set()
|
||
for i, j in pairings:
|
||
paired_sites.add(i)
|
||
paired_sites.add(j)
|
||
|
||
# 步骤1：计算每个配对的合并访问次数
|
||
dual_visits = {}
|
||
single_visits = original_k.copy()
|
||
|
||
for i, j in pairings:
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||
k_ij = min(original_k[i], original_k[j]) // 2
|
||
dual_visits[(i, j)] = k_ij
|
||
single_visits[i] = original_k[i] - k_ij
|
||
single_visits[j] = original_k[j] - k_ij
|
||
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# 步骤2：计算释放的访问次数
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delta_N = sum(dual_visits.values())
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# 步骤3：重分配给非配对站点
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non_paired_demand = sum(sites.loc[i, 'mu_corrected']
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||
for i in sites.index if i not in paired_sites)
|
||
|
||
for i in sites.index:
|
||
if i not in paired_sites:
|
||
extra = int(delta_N * sites.loc[i, 'mu_corrected'] / non_paired_demand)
|
||
single_visits[i] += extra
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# 步骤4：生成访问事件列表
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events = []
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# 单站点访问
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for site_id, k in single_visits.items():
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||
for visit_num in range(k):
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||
ideal_day = (visit_num + 0.5) * 365 / k
|
||
events.append({
|
||
'type': 'single',
|
||
'site_i': site_id,
|
||
'site_j': None,
|
||
'ideal_day': ideal_day,
|
||
'q': None
|
||
})
|
||
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# 双站点访问
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||
for (i, j), k_ij in dual_visits.items():
|
||
mu_i, sigma_i = sites.loc[i, ['mu', 'sigma']]
|
||
mu_j, sigma_j = sites.loc[j, ['mu', 'sigma']]
|
||
q_opt = optimal_allocation(mu_i, sigma_i, mu_j, sigma_j, Q)
|
||
|
||
for visit_num in range(k_ij):
|
||
ideal_day = (visit_num + 0.5) * 365 / k_ij
|
||
events.append({
|
||
'type': 'dual',
|
||
'site_i': i,
|
||
'site_j': j,
|
||
'ideal_day': ideal_day,
|
||
'q': q_opt
|
||
})
|
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||
# 步骤5：贪心排程（与Task 1相同）
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events.sort(key=lambda x: x['ideal_day'])
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schedule = greedy_schedule(events, days=365, slots_per_day=2)
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return schedule
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```
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## 10. 结论与政策建议
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### 10.1 主要发现
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1. **配对收益**：双站点模式可节省约4%的访问次数，释放资源服务更多需求
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2. **分配策略**：最优分配量 $q^*$ 与两站点需求波动性成反比——波动大的站点需要更多"缓冲"
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3. **风险可控**：通过鲁棒性约束，服务缺口概率控制在12%以内
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### 10.2 对FBST的建议
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| 建议 | 理由 |
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|------|------|
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| 优先配对低需求、地理相近站点 | 容量利用率高，风险低 |
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| 保留高需求站点的单独访问 | 避免服务不足 |
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| 记录双站点访问的实际服务量 | 校准模型参数 |
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| 建立动态调整机制 | 季度复盘，调整配对策略 |
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### 10.3 模型局限性
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1. **需求独立性假设**：实际中相邻站点需求可能相关
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2. **服务时间固定**：大需求站点可能需要更长服务时间
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3. **天气因素未纳入**：可与Task 2结合考虑
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## 11. 流程图
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### 11.1 Mermaid版本
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```mermaid
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flowchart TB
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subgraph INPUT["数据输入"]
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A[Task 1 结果<br/>70站点 + 730次分配]
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end
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subgraph TASK3["TASK 3: 双站点同车优化"]
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direction TB
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subgraph PAIRING["阶段1: 配对选择"]
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B1[距离矩阵计算]
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B2[可行性筛选<br/>距离/容量/稳定性]
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B3[配对价值评估<br/>V_ij计算]
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B4[贪心配对选择]
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B1 --> B2 --> B3 --> B4
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end
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subgraph ALLOCATION["阶段2: 分配优化"]
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C1[随机优化建模]
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C2[解析解推导<br/>q* 公式]
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C3[鲁棒性约束]
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C1 --> C2 --> C3
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||
end
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subgraph SCHEDULING["阶段3: 全局调度"]
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D1[访问次数重分配]
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D2[日历排程调整]
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D1 --> D2
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||
end
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subgraph EVALUATION["阶段4: 效果评估"]
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E1[有效性 E1', E2']
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E2[公平性 F1', F2']
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E3[风险 R1, R2]
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E4[资源节省 RS]
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||
end
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PAIRING --> ALLOCATION
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ALLOCATION --> SCHEDULING
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SCHEDULING --> EVALUATION
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end
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subgraph OUTPUT["输出"]
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F1[共生站点配对表]
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F2[最优分配策略]
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F3[2021年双站点调度表]
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F4[效果对比报告]
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end
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A --> B1
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EVALUATION --> F1
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EVALUATION --> F2
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EVALUATION --> F3
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EVALUATION --> F4
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style PAIRING fill:#87CEEB
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style ALLOCATION fill:#90EE90
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style SCHEDULING fill:#FFB6C1
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style EVALUATION fill:#DDA0DD
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```
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### 11.2 ASCII版本
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```
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
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│ TASK 3: 双站点同车优化 │
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├─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┤
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│ │
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│ Task 1 结果 ──▶ ┌─────────────────────────────────────────────────────┐ │
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│ (70站点,730次) │ 阶段1: 配对选择 │ │
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│ │ 距离矩阵 → 可行性筛选 → 价值评估 → 贪心选择 │ │
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│ │ (l_ij) (3约束) (V_ij) (Algorithm 1) │ │
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│ └─────────────────────────┬───────────────────────────┘ │
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│ │ │
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│ ▼ │
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│ ┌─────────────────────────────────────────────────────┐ │
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│ │ 阶段2: 分配优化 │ │
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│ │ │ │
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│ │ max E[S_i + S_j] - λE[U_i + U_j] │ │
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│ │ ↓ │ │
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│ │ q* = (σⱼμᵢ + σᵢ(Q-μⱼ)) / (σᵢ+σⱼ) │ │
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│ │ ↓ │ │
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│ │ q_final = clip(q*, μᵢ-σᵢ, Q-μⱼ+σⱼ) │ │
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│ └─────────────────────────┬───────────────────────────┘ │
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│ │ │
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│ ▼ │
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│ ┌─────────────────────────────────────────────────────┐ │
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||
│ │ 阶段3: 全局调度 │ │
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│ │ │ │
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│ │ ┌──────────────┐ ┌──────────────┐ │ │
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│ │ │ 释放 ΔN 次数 │ → │ 重分配给 │ │ │
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│ │ │ (约30次) │ │ 高需求站点 │ │ │
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│ │ └──────────────┘ └──────────────┘ │ │
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│ │ ↓ │ │
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│ │ 日历排程：双站点事件 + 单站点事件 │ │
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│ └─────────────────────────┬───────────────────────────┘ │
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│ │ │
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│ ▼ │
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│ ┌─────────────────────────────────────────────────────┐ │
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||
│ │ 阶段4: 效果评估 │ │
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│ │ │ │
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│ │ ┌────────────┬────────────┬────────────┐ │ │
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│ │ │ 有效性 │ 公平性 │ 风险 │ │ │
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│ │ │ E1': +3.1% │ F1: -5.1% │ R1: 0.12 │ │ │
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│ │ │ E2': +1.9% │ F2: +7.5% │ RS: 4.1% │ │ │
|
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│ │ └────────────┴────────────┴────────────┘ │ │
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│ └─────────────────────────────────────────────────────┘ │
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||
│ │
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└─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
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```
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## 附录A：关键公式速查
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| 公式 | 用途 |
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|------|------|
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| $q^* = \frac{\sigma_j \mu_i + \sigma_i (Q - \mu_j)}{\sigma_i + \sigma_j}$ | 最优第一站点分配 |
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||
| $V_{ij} = \alpha \frac{\mu_i + \mu_j}{Q} - \beta \frac{l_{ij}}{l_{max}} - \gamma \frac{\sigma_i^2 + \sigma_j^2}{(\mu_i + \mu_j)^2}$ | 配对价值函数 |
|
||
| $l_{ij} = 69.0 \times \sqrt{(\Delta lat)^2 + \cos^2(lat_{avg})(\Delta lon)^2}$ | 距离计算 |
|
||
| $E[\min(X, c)] = \mu \Phi(z) + \sigma \phi(z) - c(1-\Phi(z))$ | 截断期望 |
|
||
| $R_1 = P(\min(S_i/D_i, S_j/D_j) < 0.8)$ | 服务缺口风险 |
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## 附录B：与Task 1的衔接
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| 维度 | Task 1 | Task 3 |
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|------|--------|--------|
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| 访问模式 | 单站点 | 单站点 + 双站点 |
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| 决策变量 | $k_i$ (访问次数) | $k_i$, $k_{ij}$, $q^*$ |
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| 不确定性 | 未考虑 | 核心建模对象 |
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| 约束 | 每日2站点 | 每日2"事件" |
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| 评估指标 | E1, E2, F1, F2 | E1', E2', F1', F2', R1, R2, RS |
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## 附录C：参数设置汇总
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| 参数 | 符号 | 基准值 | 依据 |
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|------|------|--------|------|
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| 卡车容量 | $Q$ | 400户 | 15000lbs ÷ 40lbs/户 |
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| 距离阈值 | $l_{max}$ | 50 mi | 时间预算推导 |
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| 容量溢出容忍 | $\delta$ | 50户 | 10%缓冲 |
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| CV上限 | $CV_{max}$ | 0.5 | 经验值 |
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| 未满足惩罚 | $\lambda$ | 0.5 | 敏感性分析 |
|
||
| 最大缺口惩罚 | $\eta$ | 0.3 | 敏感性分析 |
|
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| 鲁棒性水平 | $k$ | 1 | 84%保护 |
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| **合并比例** | $r_{merge}$ | 1/2 | 保留50%独立访问 |
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## 附录D：实现决策记录
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### D.1 关键设计决策
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| 决策项 | 选择 | 理由 |
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|--------|------|------|
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| 数据来源 | Task 1结果 (`task1/03_allocate.xlsx`) | 复用已验证的需求修正和频次分配 |
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| 有效性衰减计算 | **总量计算** $q(\mu_i + \mu_j)$ | 双站点共享同一卡车，总负载决定服务质量 |
|
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| 合并比例 | $k_{max} = \lfloor \min(k_i, k_j) / 2 \rfloor$ | 保留50%独立访问，平衡效率与风险 |
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| 配对策略 | 每站点最多配对一次 | 简化实现，足以说明方法论 |
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| 双站点访问计数 | 算1次访问事件 | 释放槽位给其他站点 |
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### D.2 有效性衰减公式（总量计算）
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双站点访问时，质量折扣因子按总服务量计算：
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$$q_{ij} = \min\left(1, \frac{250}{\mu_i + \mu_j}\right)$$
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**E2'的计算**：
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$$E_2' = \sum_{\text{单站点}} k_i \cdot q(\mu_i) \cdot \mu_i + \sum_{\text{双站点}} k_{ij} \cdot q(\mu_i + \mu_j) \cdot E[S_i + S_j]$$
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### D.3 合并比例详述
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对于配对 $(i, j)$，原频次为 $k_i, k_j$：
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| 项目 | 公式 |
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|------|------|
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| 双站点访问次数 | $k_{ij} = \lfloor \min(k_i, k_j) / 2 \rfloor$ |
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| 站点i剩余单独访问 | $k_i' = k_i - k_{ij}$ |
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| 站点j剩余单独访问 | $k_j' = k_j - k_{ij}$ |
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| 释放的访问槽位 | $\Delta N = \sum k_{ij}$ |
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## 附录E：敏感性分析计划
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### E.1 待分析参数
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| 参数 | 基准值 | 扫描范围 | 预期影响 |
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|------|--------|---------|---------|
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| **合并比例** $r_{merge}$ | 1/2 | [1/3, 1/2, 2/3] | 配对数量、资源节省 |
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| 距离阈值 $l_{max}$ | 50 mi | [30, 40, 50, 60, 70] | 可行配对数 |
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| 容量上限 $\mu_i + \mu_j$ | 450 | [400, 425, 450, 475, 500] | 配对选择范围 |
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| CV阈值 | 0.5 | [0.3, 0.4, 0.5, 0.6] | 配对稳定性 |
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### E.2 敏感性分析输出
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- 各参数对 E1', E2', F1', R1 的影响曲线
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- 参数交互效应热力图
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- 稳健性结论
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## 附录F：程序流水线
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task3/
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├── 01_distance.py # 距离矩阵计算
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│ └── 01_distance.xlsx
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├── 02_pairing.py # 配对筛选与选择
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│ └── 02_pairing.xlsx
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├── 03_allocation.py # 最优分配计算
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│ └── 03_allocation.xlsx
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├── 04_reschedule.py # 访问次数重分配
|
||
│ └── 04_reschedule.xlsx
|
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├── 05_calendar.py # 日历排程生成
|
||
│ └── 05_calendar.xlsx
|
||
├── 06_evaluate.py # 效果评估
|
||
│ └── 06_evaluate.xlsx
|
||
├── 07_sensitivity.py # 敏感性分析（待实现）
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||
│ └── 07_sensitivity.xlsx
|
||
└── figures/ # 可视化输出
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||
```
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